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 parabole et disctance

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belgacem
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Masculin Nombre de messages : 40
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Date d'inscription : 18/06/2012

MessageSujet: parabole et disctance   Dim 09 Avr 2017, 21:56

Trouvez le point P sur la parabole y = x² le plus proche du point A (3, 0).
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aymanemaysae
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Masculin Nombre de messages : 361
Age : 21
Date d'inscription : 22/01/2014

MessageSujet: Re: parabole et disctance   Lun 10 Avr 2017, 16:35

Bonjour M. Belgacem ;

Soit M un point de la parabole . Si M a pour abscisse "x" alors son ordonnée est "x²".

Le carré de la distance AM entre le point A(3;0) et un point M(x;x²) de la parabole est :
AM² = (x - 3)² + (x² - 0)² = x² - 6x + 9 + x^4 .

Soit f la fonction définie sur R , telle que pour tout x nombre réel , on a :
f(x) = x^4 + x² - 6x + 9 , cette fonction représente AM² .

Pour que AM soit minimale , cherchons le minimum de f .

On a : f ' (x) = 4x^3 + 2x - 6 = 2(2x^3 + x - 3) .

On a f ' (x) = 0 donc 2x^3 + x - 3 = 0 : cette équation a une racine évidente qui est "1" ,

donc on a : f ' (x) = (x - 1)(2x² + 2x + 3) par la division Euclidienne .

Comme le discriminant de 2x² + 2x + 3 est : 4 - 24 = - 20 < 0 donc 2x² + 2x + 3 garde le même signe sur R , et comme on a : 2 * 0² + 2 * 0 + 3 = 3 > 0 , donc 2x² + 2x + 3 est toujours strictement positive , donc f ' (x) est du signe de (x - 1) .

Le tableau de variation de f donne que le minimum de f est f(1) = 5 , donc le carré de la distance minimale AM est : AM² = 5 ,
donc la distance minimale AM est racine carrée de 5 .
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belgacem
Féru


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MessageSujet: Re: parabole et disctance   Lun 10 Avr 2017, 20:03

MERCI DE VOTRE AIDE
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aymanemaysae
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MessageSujet: Re: parabole et disctance   Lun 10 Avr 2017, 21:06

De rien .
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MessageSujet: Re: parabole et disctance   

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parabole et disctance
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