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 Inegalite a demontrer

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abraha_11
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MessageSujet: Inegalite a demontrer   Lun 16 Oct 2017, 23:15

Bonjour.
Montrer que: ((1-1/n^2)^n )*(1+1/n) < 1
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nmo
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MessageSujet: Re: Inegalite a demontrer   Hier à 07:40

abraha_11 a écrit:
Bonjour.
Montrer que: ((1-1/n^2)^n )*(1+1/n) < 1
J'imagine qu'on veut démontrer l'inégalité pour tout entier non nul .
L'inégalité est trivialement vérifiée pour . On s'intéresse désormais au cas  .
L'inégalité se réécrit .
Ou, de manière équivalent, .
On définit la fonction par .
Cette fonction est dérivable, et on a .
Par ailleurs, il est connu (il est facile à démontrer) que .
Cette inégalité implique que (En prenant ).
Par conséquent, la fonction est bien décroissante sur ][.
On a donc ou bien .
Sauf erreurs.
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Inegalite a demontrer
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