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 Inegalite a demontrer

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abraha_11
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abraha_11

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MessageSujet: Inegalite a demontrer   Inegalite a demontrer EmptyLun 16 Oct 2017, 23:15

Bonjour.
Montrer que: ((1-1/n^2)^n )*(1+1/n) < 1
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nmo
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MessageSujet: Re: Inegalite a demontrer   Inegalite a demontrer EmptyMar 17 Oct 2017, 07:40

abraha_11 a écrit:
Bonjour.
Montrer que: ((1-1/n^2)^n )*(1+1/n) < 1
J'imagine qu'on veut démontrer l'inégalité pour tout entier non nul Inegalite a demontrer Gif.
L'inégalité est trivialement vérifiée pour Inegalite a demontrer Gif. On s'intéresse désormais au cas  Inegalite a demontrer Gif.
L'inégalité se réécrit Inegalite a demontrer Gif.
Ou, de manière équivalent, Inegalite a demontrer Gif.
On définit la fonction Inegalite a demontrer Gif par Inegalite a demontrer Gif.
Cette fonction est dérivable, et on a Inegalite a demontrer Gif.
Par ailleurs, il est connu (il est facile à démontrer) que Inegalite a demontrer Gif.
Cette inégalité implique que Inegalite a demontrer Gif (En prenant Inegalite a demontrer Gif).
Par conséquent, la fonction Inegalite a demontrer Gif est bien décroissante sur ]Inegalite a demontrer Gif[.
On a donc Inegalite a demontrer Gif ou bien Inegalite a demontrer Gif.
Sauf erreurs.
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Inegalite a demontrer
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