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 premiers entre eux

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belgacem
Féru


Masculin Nombre de messages : 40
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Date d'inscription : 18/06/2012

MessageSujet: premiers entre eux   Ven 27 Oct 2017, 08:38

démontrez pour tout n de N : PGCD ( n²-n+1 , n²+n+1) = 1
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nmo
Expert sup


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MessageSujet: Re: premiers entre eux   Sam 28 Oct 2017, 11:12

belgacem a écrit:
démontrez pour tout n de N :    PGCD ( n²-n+1 , n²+n+1) = 1
On distingue deux cas suivant les valeurs de , et on utilise le théorème de Bézout pour conclure:
1) Si est pair, on a: .
2) Si est impair, on a: .
*) Conclusion: Dans les deux cas, .
Cela veut dire que et sont premiers entre eux.
Sauf erreurs!
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belgacem
Féru


Masculin Nombre de messages : 40
Age : 54
Date d'inscription : 18/06/2012

MessageSujet: Re: premiers entre eux   Sam 28 Oct 2017, 18:56

merci
mais quelles sont les valeures de an et bn ?
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belgacem
Féru


Masculin Nombre de messages : 40
Age : 54
Date d'inscription : 18/06/2012

MessageSujet: Re: premiers entre eux   Sam 28 Oct 2017, 20:04

merci
comment avez vous calculer an et bn ? dans les deux cas .................
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aymanemaysae
Expert grade2


Masculin Nombre de messages : 354
Age : 21
Date d'inscription : 22/01/2014

MessageSujet: Re: premiers entre eux   Sam 28 Oct 2017, 21:08

Bonsoir tout le monde .

Voici une autre démarche , mais plus longue et moins subtile que celle de nmo .

Première étape : montrons que pour tout n de N , on a : n² - n + 1 et n² + n + 1 sont impairs .

n² - n + 1 = n(n - 1) + 1 = 2 x n(n - 1)/2 + 1 : n(n - 1) est le produit de deux entiers successifs ,
donc il est pair .

n² + n + 1 = n(n + 1) + 1 = 2 x n(n + 1)/2 + 1 : n(n + 1) est le produit de deux entiers successifs ,
donc il est pair .

Conclusion : pour tout n de N ; n² - n + 1 et n² + n + 1 sont impairs .

Deuxième étape : montrons que pour tout n de N , on a : PGCD(n² + n + 1 ; n) = 1 .

n² + n + 1 = 2 x n(n + 1)/2 + 1 ===> (n² + n + 1) - 2(n + 1)/2 x n = 1 ;
donc PGCD(n² + n + 1 ; n) = 1 .

Troisième étape : montrons que pour tout n de N , on a : PGCD(n² + n + 1 ; n² - n + 1) = 1 .

Procédons par la méthode de l'absurde : on suppose que PGCD(n² + n + 1 ; n² - n + 1) <> 1 ,

il existe donc d appartenant à N* tel que PGCD(n² + n + 1 ; n² - n + 1) = d ,

et comme n² + n + 1 et n² - n + 1 sont impairs alors d appartient à 2N* + 1 ,

donc il existe (A ; B) appartenant à N*² tel que : n² + n + 1 = Ad et n² - n + 1 = Bd ,

donc : n² + n + 1 = n² - n + 1 + 2n ;

donc : Ad = Bd + 2n ;

donc : (A - B)d = 2n ;

donc : d divise n (d ne peut pas diviser 2 car d appartient à 2N* + 1 ) ;

donc : d est un diviseur commun différent de 1 de n et de n² + n + 1 , ce qui absurde .

Conclusion : pour tout n de N , PGCD(n² + n + 1 ; n² - n + 1) = 1 .
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nmo
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MessageSujet: Re: premiers entre eux   Dim 29 Oct 2017, 09:52

belgacem a écrit:
merci
comment avez vous calculer an et bn ? dans les deux cas .................
On cherche à fixer des entiers , , , , et tels que:
.
Après, il faut utiliser que les coefficients des monômes , , et sont nuls et que .
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