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 premiers entre eux

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belgacem
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MessageSujet: premiers entre eux   premiers entre eux EmptyVen 27 Oct 2017, 08:38

démontrez pour tout n de N : PGCD ( n²-n+1 , n²+n+1) = 1
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nmo
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MessageSujet: Re: premiers entre eux   premiers entre eux EmptySam 28 Oct 2017, 11:12

belgacem a écrit:
démontrez pour tout n de N :    PGCD ( n²-n+1 , n²+n+1) = 1
On distingue deux cas suivant les valeurs de premiers entre eux Gif, et on utilise le théorème de Bézout pour conclure:
1) Si premiers entre eux Gif est pair, on a: premiers entre eux Gif.
2) Si premiers entre eux Gif est impair, on a: premiers entre eux Gif.
*) Conclusion: Dans les deux cas, premiers entre eux Gif.
Cela veut dire que premiers entre eux Gif et premiers entre eux Gif sont premiers entre eux.
Sauf erreurs!
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belgacem
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MessageSujet: Re: premiers entre eux   premiers entre eux EmptySam 28 Oct 2017, 18:56

merci
mais quelles sont les valeures de an et bn ?
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belgacem
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MessageSujet: Re: premiers entre eux   premiers entre eux EmptySam 28 Oct 2017, 20:04

merci
comment avez vous calculer an et bn ? dans les deux cas .................
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aymanemaysae
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MessageSujet: Re: premiers entre eux   premiers entre eux EmptySam 28 Oct 2017, 21:08

Bonsoir tout le monde .

Voici une autre démarche , mais plus longue et moins subtile que celle de nmo .

Première étape : montrons que pour tout n de N , on a : n² - n + 1 et n² + n + 1 sont impairs .

n² - n + 1 = n(n - 1) + 1 = 2 x n(n - 1)/2 + 1 : n(n - 1) est le produit de deux entiers successifs ,
donc il est pair .

n² + n + 1 = n(n + 1) + 1 = 2 x n(n + 1)/2 + 1 : n(n + 1) est le produit de deux entiers successifs ,
donc il est pair .

Conclusion : pour tout n de N ; n² - n + 1 et n² + n + 1 sont impairs .

Deuxième étape : montrons que pour tout n de N , on a : PGCD(n² + n + 1 ; n) = 1 .

n² + n + 1 = 2 x n(n + 1)/2 + 1 ===> (n² + n + 1) - 2(n + 1)/2 x n = 1 ;
donc PGCD(n² + n + 1 ; n) = 1 .

Troisième étape : montrons que pour tout n de N , on a : PGCD(n² + n + 1 ; n² - n + 1) = 1 .

Procédons par la méthode de l'absurde : on suppose que PGCD(n² + n + 1 ; n² - n + 1) <> 1 ,

il existe donc d appartenant à N* tel que PGCD(n² + n + 1 ; n² - n + 1) = d ,

et comme n² + n + 1 et n² - n + 1 sont impairs alors d appartient à 2N* + 1 ,

donc il existe (A ; B) appartenant à N*² tel que : n² + n + 1 = Ad et n² - n + 1 = Bd ,

donc : n² + n + 1 = n² - n + 1 + 2n ;

donc : Ad = Bd + 2n ;

donc : (A - B)d = 2n ;

donc : d divise n (d ne peut pas diviser 2 car d appartient à 2N* + 1 ) ;

donc : d est un diviseur commun différent de 1 de n et de n² + n + 1 , ce qui absurde .

Conclusion : pour tout n de N , PGCD(n² + n + 1 ; n² - n + 1) = 1 .
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nmo
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MessageSujet: Re: premiers entre eux   premiers entre eux EmptyDim 29 Oct 2017, 09:52

belgacem a écrit:
merci
comment avez vous calculer an et bn ? dans les deux cas .................
On cherche à fixer des entiers premiers entre eux Gif, premiers entre eux Gif, premiers entre eux Gif, premiers entre eux Gif, premiers entre eux Gif et premiers entre eux Gif tels que:
premiers entre eux Gif.
Après, il faut utiliser que les coefficients des monômes premiers entre eux Gif, premiers entre eux Gif, premiers entre eux Gif et premiers entre eux Gif sont nuls et que premiers entre eux Gif.
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