Aide pour les futurs mathématiciens
 
AccueilAccueil  PortailPortail  FAQFAQ  RechercherRechercher  S'enregistrerS'enregistrer  Connexion  

Partagez | 
 

 n'est pas un carré

Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Aller en bas 
AuteurMessage
samir
Administrateur
avatar

Nombre de messages : 1844
Localisation : www.mathematiciens.tk
Date d'inscription : 23/08/2005

MessageSujet: n'est pas un carré   Ven 01 Déc 2017, 10:51

Montrer que quel que soit l'entier naturel n > 1, n^5 + 7 n’est pas un carré.

_________________
وتوكل على الحي الذي لا يموت وسبح بحمده
Revenir en haut Aller en bas
http://mathsmaroc.jeun.fr
kalm
Expert sup
avatar

Nombre de messages : 1101
Localisation : khiam 2
Date d'inscription : 26/05/2006

MessageSujet: Re: n'est pas un carré   Mer 06 Déc 2017, 13:04

Salut Samir !! Ça fait plaisir de jeter un coup d’œil ici et te voir de retour après des années !

Pour l'exo il suffit de regarder n modulo 4 sachant qu'un carré est 0 ou 1 modulo 4.
Revenir en haut Aller en bas
aymanemaysae
Expert grade2


Masculin Nombre de messages : 361
Age : 21
Date d'inscription : 22/01/2014

MessageSujet: Re: n'est pas un carré   Jeu 07 Déc 2017, 14:03

Bonjour ;

Procédons par l'absurde et supposons qu'il existe un couple de nombres entiers naturels "u" et "n"
tels que (n ; u) appartient à (IN\{0 ; 1}) x {7 ; 8 ; ..... } et n^5 + 7 = u² ,
donc on a : u² + 25 = n^5 + 32 = n^5 + 2^5 ;
donc : u² + 25 = (n + 2)(n^4 - 2 n^3 + 4 n² - 8 n + 32) .

Posons : b = n^4 - 2 n^3 + 4 n² - 8 n + 32
= n^4 - 2n^3 + 4 n^2 - 8 n + 32 ;
donc : b est congru à n^4 - 2n^3 [4] ;
donc : b est congru à n²((n - 1)² - 1) [4] ;
donc : b est congru à n²(n - 1)² - n² [4] , (résultat n° 1) .

Si n est pair alors : b est congru à 0 [4] ;
donc : 4 divise b ;
donc : 4 divise u² + 5² ;
donc : 4 divise u² + 1 ;
donc : u² est congru à - 1 [4] , ce qui est absurde car les carrés des nombres entiers naturels sont congrus à 0 ou 1 [4] ;
donc : "n" est impair ;
donc : "n" est congru à (+ ou moins) 1 [4] ;
donc : b est congru à - 1 [4] ;
donc : b admet un diviseur premier q de la forme : 4k + 3 avec k un nombre entier naturel ;
donc : q divise u² + 5² ;
donc : q divise u et 5 , ce qui est absurde car 5 admet comme diviseurs 1 et 5 qui ne sont pas de la forme 4k + 3 avec k un nombre entier naturel ;
donc : quelque soit "n" un nombre entier naturel différent de 0 et 1 , l'expression n^5 + 7 n'est jamais un carré parfait .
Revenir en haut Aller en bas
Contenu sponsorisé




MessageSujet: Re: n'est pas un carré   

Revenir en haut Aller en bas
 
n'est pas un carré
Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Revenir en haut 
Page 1 sur 1
 Sujets similaires
-
» Lo Shu (carré magique 3X3)
» carré d'une variable centrée-réduite
» Le carré impérial
» V. Pécresse sur Fr. Inter dans la tête au carré: je crois que je vais craquer...
» le carré SATOR

Permission de ce forum:Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
Forum des amateurs de maths :: Olympiades :: Arithmétiques-
Sauter vers: