n'est pas un carré

Montrer que quel que soit l'entier naturel n > 1, n^5 + 7 n’est pas un carré.

Salut Samir !! Ça fait plaisir de jeter un coup d’œil ici et te voir de retour après des années !

Pour l'exo il suffit de regarder n modulo 4 sachant qu'un carré est 0 ou 1 modulo 4.

Bonjour ;

Procédons par l'absurde et supposons qu'il existe un couple de nombres entiers naturels "u" et "n"
tels que (n ; u) appartient à (IN\{0 ; 1}) x {7 ; 8 ; ..... } et n^5 + 7 = u² ,
donc on a : u² + 25 = n^5 + 32 = n^5 + 2^5 ;
donc : u² + 25 = (n + 2)(n^4 - 2 n^3 + 4 n² - 8 n + 32) .

Posons : b = n^4 - 2 n^3 + 4 n² - 8 n + 32
= n^4 - 2n^3 + 4 n^2 - 8 n + 32 ;
donc : b est congru à n^4 - 2n^3 [4] ;
donc : b est congru à n²((n - 1)² - 1) [4] ;
donc : b est congru à n²(n - 1)² - n² [4] , (résultat n° 1) .

Si n est pair alors : b est congru à 0 [4] ;
donc : 4 divise b ;
donc : 4 divise u² + 5² ;
donc : 4 divise u² + 1 ;
donc : u² est congru à - 1 [4] , ce qui est absurde car les carrés des nombres entiers naturels sont congrus à 0 ou 1 [4] ;
donc : "n" est impair ;
donc : "n" est congru à (+ ou moins) 1 [4] ;
donc : b est congru à - 1 [4] ;
donc : b admet un diviseur premier q de la forme : 4k + 3 avec k un nombre entier naturel ;
donc : q divise u² + 5² ;
donc : q divise u et 5 , ce qui est absurde car 5 admet comme diviseurs 1 et 5 qui ne sont pas de la forme 4k + 3 avec k un nombre entier naturel ;
donc : quelque soit "n" un nombre entier naturel différent de 0 et 1 , l'expression n^5 + 7 n'est jamais un carré parfait .