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 olympiade 3eme délégation berrchid 2 MARS 2018

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samir
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MessageSujet: olympiade 3eme délégation berrchid 2 MARS 2018   Dim 04 Mar 2018, 12:32



_________________
وتوكل على الحي الذي لا يموت وسبح بحمده
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aymanemaysae
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MessageSujet: Re: olympiade 3eme délégation berrchid 2 MARS 2018   Lun 05 Mar 2018, 13:57

Bonjour ;

Exercice n° 1 .

a + b + c = 0 ;
donc : 0 = (a + b + c)^3 = (a + (b + c))^3 = a^3 + (b + c)^3 + 3a(b + c)(a + b + c)
= a^3 + b^3 + c^3 + 3bc(b + c) = a^3 + b^3 + c^3 + 3bc(a + b + c - a)
= a^3 + b^3 + c^3 + 3bc(- a) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc ;

donc :

3abc = a^3 + b^3 + c^3 ;
donc : abc = (a^3 + b^3 + c^3)/3 .

Exercice n° 2 .

On a :
(ax + by)/(bx + ay) - (x/y) = (axy + by² - bx² - axy)/(y(bx + ay))
(by² - bx²)/(y(bx + ay)) = b(y² - x²)/(y(bx + ay) > 0 vu que y > x et a , b , x et y
sont des nombres réels positifs ;
donc : (ax + by)/(bx + ay) > (x/y) .

On a aussi :
(ax + by)/(bx + ay) - (y/x) = (ax² + bxy - bxy - ay²)/(x(bx + ay))
= (ax² - ay²)/(x(bx + ay)) = a(x² - y²)/(x(bx + ay)) < 0 vu que y > x et a , b , x et y
sont des nombres réels positifs ;
donc : (ax + by)/(bx + ay) < (y/x) .

Conclusion :
On a donc : (x/y) < (ax + by)/(bx + ay) < (y/x) .

Exercice n° 3 .



Exercice n° 4 et non 5 .

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