exoralMP

bonjour tout le monde
soit P = sum{k=0}^{n}a_k.X^k un polynôme à coefficients réels ; montrer que
int{0}^{1} P²(t)dt =< pi.Sum{k=0}{n} a²_k (Inégalité de Hilbert)
Bon courage

indications
i)montre que (P,Q)--> (1/2pi)int{-pi}^{pi}P(e^it)Q(e^-it).dt est un produit scalaire sur E = IR[X] et
que (X^k) est une base orthonormale .
ii)Montrer que pour tout P de E on a:
int{-1}^{1}P(t)dt = -i int{0}^{pi}P(e^it)e^it .dt puis que:
2int{-1}^{1}P(t)dt =-i int{-pi}^{pi}P(e^it)e^it .dt
iii)On déduire que: pour tout P de E P = sum{k=0}^{n}a-kX^K on a:
2int{0}^{1}P²(t)dt =< int{-pi}^{pi}|P(e^it)|²dt = 2pi.sum{k=0}^{n}(a_k)²
bon courage

Est-il certain que le pi va surgir dans l'égalité, car d'où sortirait-il avec une intégration entre 0 et 1 et des polynômes non trigonométriques?

Oui pi surgit il provient du produit scalaire de i). mais la déduction de ii) est fausse ,et la déduction de iii) reste vraie c est l inégalité de Hilbert.
bon courage

P^2 = sum{l= 0}^{n}sum{k= 0}^{n}a_l a_k X^(k+l) = sum{m= 0}^{2.n}[sum{l= sup(m-n,0)}^{inf(m,n)}a_l a_(m-l)] X^m ==> int{t= 0}^{1}P^2 dt = sum{m= 0}^{2.n}[sum{l= sup(m-n,0)}^{inf(m,n)}a_l a_(m-l)]/(m+1) :
int{t= 0}^{1}P^2 dt = sum{l= 0}^{n}[sum{m= l}^{n+l}a_l a_(m-l) /(m+1)] = sum{l= 0}^{n}[sum{m= l}^{n+l}a_(m-l) /(m+1)] a_l = sum{l= 0}^{n}[sum{k= 0}^{n}a_k /(1+ l+ k)] a_l

i) est évidente
ii) on la démontre pour P = X^k et on utilise la linéarité de l intégral.
iii) on utilise le fait que l intégral entre 0 et 1 de P² est inférieur ou égal à l intégral de P² entre -1 et 1
on utilise ii) on passe au module les quantités sont positives puis le module de l intégral est inférieur à l intégral du module puis on majore par pi <P,P>=pi||P||² la norme de pi .(X^k) base orthonormale
Bon courage

la majoration de int{0}{1}P^2 dt par int{-1}{1}P^2 dt est peu judicieuse, outre celle par pi, car autant garder le facteur 1 avec une inégalité dans ce cas plus pertinente. Si vous permettez, le terme de droite de la seconde égalité de ii) est nul, malgré que la relation avec la conclusion n'est pas encore éclaircie car <P,P> = ||P||^2 < pi.||P||^2 pour tout polynôme non nul. Aussi, la méthode non complexe pourrait utiliser deux fois l'inégalité du produit scalaire, dite de Cauchy-Schwarz, bien avant de faire les changements, inversions et regroupements que j'ai faits, mais après intégration. Il reste alors une racine avec somme dont une forme unitaire infinie rappelle pi^2 /6.