arithmitiq

etant donné p et q de N tel que p-1=q+1
1° montrer que p+q /p^p+q^q
2° si p premier tel que p+2 premier montrer que 6 divise p+1
3° montrer que 2p+1 et 4p+1 ne peuvent pas etre premiers simultanement

Bonjour ;


1)


On a p et q deux nombres entiers naturels .

La condition donnée dans l'énoncé est : p - 1 = q + 1 revient à dire que : p = q + 2 .

Si q = 2 alors p = 4 , donc : p + q = 2 + 4 = 6 et 2^2 + 4^4 = 4 + 256 = 260 qui n'est divisible par 6 donc je pense qu'il y a un petit quelque chose dans l'énoncé .

mat9ich a écrit:

etant donné p et q de N tel que p-1=q+1
1° montrer que p+q /p^p+q^q

k=p-1=q+1=0 mod(6), essayez avec k divisible par 6

[bold]p^p +q^q[\bold] = ([bold]p +q[\bold]).[p^(p-1) -p^(p-2) q +p^(p-3) q^2 -p^(p-4) q^3 +p^(p-5) q^4... (-1)^(q-1) p^(p-q) q^(q-1)] -(-1)^(q-1) p^(p-q) q^q +q^q
donc avec k = q+1=p-1, p + q | p^p + q^q <=> 2k | (k -1)^q [1 -(-1)^k (k +1)^2] ==> parce que k et (k -1)^q sont premiers entre eux-- k | 1 -(-1)^k (k^2 +2k +1) ==> k | |1 -(-1)^k| <= 2 ==> (k = 1 mod(2) et k | 2) ou k = 0 mod(2) car k = q +1 > 1
Donc, la condition est que 2k | k(k +2) et k est pair ...
En conclusion, p impair équivaut à p +q | p^p + q^q où q=p-2.
Quant à à la question suivante, pour la moyenne k de p et q premiers, { k + 1 =/= 0 mod(3) & k -1 =/= 0 mod(3) }, ce qui équivaut à k -1 = 2 mod(3) parce que k +1 = k -1 +2 mod(3), ce qui signifie 3|k. Aussi, p et q impairs implique que k est pair, c'est-à-dire 2|k. Donc 2*3|k puisque 2 et 3 sont premiers entre eux.
Enfin, considérer les cas de 2*p+1 et 4*p+1 pour p= 1, 3, 9 ou 15 pour la dernière question, comme exemples de non validité de l'assertion.
salamalikom