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 Nombre des solutions dans N²

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belgacem
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Masculin Nombre de messages : 76
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MessageSujet: Nombre des solutions dans N²   Sam 25 Aoû 2018, 11:38

Déterminez le Nombre des solutions dans N² de l'équation :
x²+y²+2xy-2019x-2019y-2020 =0
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aymanemaysae
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MessageSujet: Re: Nombre des solutions dans N²   Lun 27 Aoû 2018, 16:05

Bonjour ;

x² + y² + 2xy - 2019x - 2019y - 2020 = x² + (2y - 2019)x + (y² - 2019y -2020) = 0 ;

donc : Delta = (2y - 2019)² - 4(y² - 2019y -2020)
= 4y² - 8076y + 4076361 - 4y² + 8076y + 8080
= 4084441 = 2021² ;

donc : x = (- 2y +2019 - 2021)/2 = - y - 1 ;
donc : y = - x - 1 >= 0 car y appartient à IN ;
mais on a : - 1 >= x donc x n'appartient pas à IN ;
donc ce résultat est invalide .

On a aussi : x = (- 2y +2019 + 2021)/2 = - y + 2020 ;
donc : y = - x + 2020 >= 0 car y appartient à IN ;
donc : 2020 >= x >= 0 ;
donc l'ensemble des solutions est : {(u ; - u + 2020) tel que u appartient à [0 ; 2020] inter IN} .
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Oeil_de_Lynx
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MessageSujet: Re: Nombre des solutions dans N²   Lun 27 Aoû 2018, 20:37

BSR les P'Tits Gars du FoFo .....

Si on pose T=x+y qui est censé être entier naturel alors l' équation deviendrait :
T^2 -2019.T-2020=0
Son Delta est = (2021)^2

d' ou les solutions T1=-1 et T2=2020 seule acceptable ...
D' ou les solutions { (x,2020-x) , x=0 à 2020 en restant entier } ....

Merci aymanemaysae pour ta Soluce et
Merci Belgacem pour l' exo .
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belgacem
Maître


Masculin Nombre de messages : 76
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MessageSujet: Re: Nombre des solutions dans N²   Mer 12 Sep 2018, 08:43

Merci ....
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naïl
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Date d'inscription : 25/04/2006

MessageSujet: réponse   Jeu 13 Sep 2018, 10:38

2021.
كان السؤال عن عدد الحلول ..! سنة سعيدة
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belgacem
Maître


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MessageSujet: Re: Nombre des solutions dans N²   Sam 29 Sep 2018, 09:02

Merci a tous voici une solution.....
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Oeil_de_Lynx
Expert sup
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Masculin Nombre de messages : 3111
Age : 70
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MessageSujet: Re: Nombre des solutions dans N²   Lun 08 Oct 2018, 22:40

BSR belgacem
Mais c'est mutadis mutandis la solution que j'ai proposée plus haut .....
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naïl
Maître


Masculin Nombre de messages : 80
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MessageSujet: Re: Nombre des solutions dans N²   Mar 09 Oct 2018, 20:09

sauf que la factotisation est immédiate, visible sans recours au déterminant. X^2 -nX -(n +1) = X^2 -1 -nX -n = (X +1)(X -1 -n)
X^2 -nX +n -1 = (X -n +1)(X -1)
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MessageSujet: Re: Nombre des solutions dans N²   

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Nombre des solutions dans N²
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