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 limite expo - sinus

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belgacem
Maître


Masculin Nombre de messages : 75
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Date d'inscription : 18/06/2012

MessageSujet: limite expo - sinus   Mer 17 Oct 2018, 06:36

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aymanemaysae
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Masculin Nombre de messages : 401
Age : 22
Date d'inscription : 22/01/2014

MessageSujet: Re: limite expo - sinus   Jeu 18 Oct 2018, 12:55

Bonjour;

Tout d'abord , calculons : lim(x--> 0+) xexp(1/sin(x)) .

Supposons x appartenant à ] 0 ; u[ avec u < pi/4 ;

donc on a : 0 < sin(x) < x ;

donc : 1/x < 1/sin(x) ;

donc : exp(1/x) < exp(1/sin(x)) ;

donc : xexp(1/x) < xexp(1/sin(x)) .

On a : lim(x--> 0+) xexp(1/x) = lim(x--> 0+) exp(1/x)/(1/x)

= lim(t --> +inf) exp(t)/(t) avec 1/x = t ;

= + inf .

Comme lim(x--> 0+) xexp(1/x) = + inf ; alors : lim(x--> 0+) xexp(1/sin(x)) = + inf .



Calculons maintenant : lim(x--> 0-) xexp(1/sin(x)) .

Supposons x appartenant à ] u ; 0[ avec u > - pi/4 ;

donc : x < sin(x) < 0 ;

donc : lim(x--> 0-) xexp(1/sin(x)) = 0 ;

car lim(x--> 0-) 1/sin(x) = - inf  ; lim(x--> 0-) exp(1/sin(x)) = 0 .
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aymanemaysae
Expert grade1


Masculin Nombre de messages : 401
Age : 22
Date d'inscription : 22/01/2014

MessageSujet: Re: limite expo - sinus   Jeu 18 Oct 2018, 12:57

aymanemaysae a écrit:
Bonjour;

Tout d'abord , calculons : lim(x--> 0+) xexp(1/sin(x)) .

Supposons x appartenant à ] 0 ; u[ avec u < pi/4 ;

donc on a : 0 < sin(x) < x ;

donc : 1/x < 1/sin(x) ;

donc : exp(1/x) < exp(1/sin(x)) ;

donc : xexp(1/x) < xexp(1/sin(x)) .

On a : lim(x--> 0+) xexp(1/x) = lim(x--> 0+) exp(1/x)/(1/x)

= lim(t --> +inf) exp(t)/(t) avec 1/x = t ;

= + inf .

Comme lim(x--> 0+) xexp(1/x) = + inf ; alors : lim(x--> 0+) xexp(1/sin(x)) = + inf .


Calculons maintenant : lim(x--> 0-) xexp(1/sin(x)) .

Supposons x appartenant à ] u ; 0[ avec u > - pi/4 ;

donc : x < sin(x) < 0 ;

donc : lim(x--> 0-) xexp(1/sin(x)) = 0 ;

car lim(x--> 0-) 1/sin(x) = - inf  ; lim(x--> 0-) exp(1/sin(x)) = 0 .
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