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 Inegalité

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AuteurMessage
watfro360
Débutant


Masculin Nombre de messages : 6
Age : 17
Localisation : Agadir
Date d'inscription : 25/08/2018

MessageSujet: Inegalité    Mer 14 Nov 2018, 18:43

soient a,b et c trois réels positifs. Montrer que :


(a+b)²⁄c + c²⁄a ≥ 4b
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aymanemaysae
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Masculin Nombre de messages : 405
Age : 22
Date d'inscription : 22/01/2014

MessageSujet: Re: Inegalité    Jeu 15 Nov 2018, 12:27

Bonjour;

L'expression de l'inégalité est définie pour : a et c des nombres réels non nuls .

(a + b)²/c + c²/a ≥ 4b <=> (a(a + b)² + c³)/(ac) ≥ 4b <=> a(a + b)² + c³ ≥ 4abc

<=> a(a² + 2ab + b²) + c³ ≥ 4abc <=> a(a² + 2ab + b²) + c³ - 4abc ≥ 0

<=> a³ + 2a²b + ab² + c³ - 4abc ≥ 0 <=> ab² + (2a² - 4ac)b + (a³ + c³) ≥ 0

<=> ab² + 2a(a - 2c)b + (a³ + c³) ≥ 0 .



Le discriminant de ce trinôme en "b" est :

D = 4a²(a - 2c)² - 4a(a³ + c³) = 4a²(a² - 4ac + 4c²) - 4a^4 - 4c^4

= 4a^4 - 16a³c + 16a²c² - 4a^4 - 4ac³ = - 16a³c + 16a²c² - 4ac³

= - 4ac(2a - c)² .

Si a = c alors D = 0 et le trinôme en "b" est un carré .

Si a différent de c on a : D < 0 , donc le trinôme ne s'annule pas et garde

le signe du coefficient de second degré qui est "a" , et comme on a : a> 0 ;

donc le trinôme est positif .


Conclusion :

Dans tous les cas , le trinôme en "b" est positif ,

donc l'expression : (a + b)²/c + c²/a ≥ 4b est vérifiée .


Dernière édition par aymanemaysae le Lun 26 Nov 2018, 07:50, édité 1 fois
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watfro360
Débutant


Masculin Nombre de messages : 6
Age : 17
Localisation : Agadir
Date d'inscription : 25/08/2018

MessageSujet: Re: Inegalité    Ven 16 Nov 2018, 15:55

Bon Travail !
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Oeil_de_Lynx
Expert sup
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Masculin Nombre de messages : 3112
Age : 70
Localisation :
Date d'inscription : 13/08/2007

MessageSujet: Re: Inegalité    Sam 17 Nov 2018, 10:48

BJR au Forum .
BJR Aymanemaysae .

Il n' y a rien à rajouter ....
Bravo , Tu fais du Très Bon Job !!!
Seulement à la Ligne 2 :
" L' expression de l'inégalité est définie pour : a et b des nombres réels non nuls "
Remplacer b par c .
Car la variable b ne pose aucun souci.

Bon Week- End à Vous .
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nmo
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 2246
Age : 25
Localisation : Elgara
Date d'inscription : 29/10/2009

MessageSujet: Re: Inegalité    Dim 18 Nov 2018, 17:14

watfro360 a écrit:
soient  a,b et c trois réels positifs. Montrer que :


(a+b)²⁄c + c²⁄a ≥ 4b
En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwartz, on obtient: .
En utilisant l'inégalité arithmético-géométrique, on obtient: .
En combinant les deux inégalités, on obtient: .
Par conséquent, on trouve: . CQFD.
Sauf erreurs.
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aymanemaysae
Expert grade1


Masculin Nombre de messages : 405
Age : 22
Date d'inscription : 22/01/2014

MessageSujet: Re: Inegalité    Lun 26 Nov 2018, 07:51

Bonjour;

Bien vu Oeil_de_Lynx : j'ai rectifié mon erreur . Merci .
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MessageSujet: Re: Inegalité    

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Inegalité
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