PAMO 2019 TEST 1er JOUR

3. Si on note O et P les centres respectifs des cercles circonscrits aux triangles ABC et DEF. Alors O = P implique que le cercle circonscrit au triangle DEF coupe la droite (BC) en D et D' tel que D' est dans le segment [BC] parce que D est supposé y appartenir, et PB = PC = OB = OC d'une part, et PD = PD' de l'autre. En plus, BD = D'C ou BD' = DC. Aussi existe-t-il deux points de [CA] et [AB], respectivement E' et F', tels que PE = PF = PE' = PF' = PD = PD', CE = E'A, AF = F'B, E'C = EA et FB = F'A. Donc, la condition BD /DC = CE /EA = AF /FB équivaut à BD /BD' = E'A /EA = (AF /AF' =)F'B /FB (=CE /E'C = D'C /DC). Par conséquent (F'D) // (FD'), (ED') // (E'D) et (E'F) //(F'E).

Pour a 1ère question !

2.
،p_{k}،.. p_{3} ،p_{2} ،p_{1} ،حصرا للأعداد الأولية الغير مختلفة بالضرورة
،k و لتعدادها
p_{1} * p_{2} * p_{3} .. * p_{1}  = 10(p_{1} + p_{2} + p_{3} ..+p_{k})
فإن الجزء الأيسر من المعادلة هو تفكيك إلى عوامل أولية لعدد يقسمه 10.
فإذا كانت الأعداد الأولية مرتبة بشكل تزايدي و غير قطعي بحسب أنسوبها .p_{1} = 2 فإن أصغرها
p_{i -1} < 5 و p_{i} = 5 حيث k محصور بين 2 و i و يوجد عدد صحيح
p_{i-1} = 2 يعني أن
p_{j -1} = 2 و p_{j} = 3 حيث i-1بين 2 و j أو يوجد صحيح
فما هي الصيغة المبسطة للمعادلة في كل حالة؟

naïl a écrit:

2.
،p_{k}،.. p_{3} ،p_{2} ،p_{1} ،حصرا للأعداد الأولية الغير مختلفة بالضرورة
،k و لتعدادها
p_{1} * p_{2} * p_{3} .. * p_{1}  = 10(p_{1} + p_{2} + p_{3} ..+p_{k})
فإن الجزء الأيسر من المعادلة هو تفكيك إلى عوامل أولية لعدد يقسمه 10.
فإذا كانت الأعداد الأولية مرتبة بشكل تزايدي و غير قطعي بحسب أنسوبها .p_{1} = 2 فإن أصغرها
p_{i -1} < 5 و p_{i} = 5 حيث k محصور بين 2 و i و يوجد عدد صحيح
p_{i-1} = 2 يعني أن
p_{j -1} = 2 و p_{j} = 3 حيث i-1بين 2 و j أو يوجد صحيح
فما هي الصيغة المبسطة للمعادلة في كل حالة؟

La forme d'un terme de l'équation est une décomposition en facteurs premiers, laquelle par règle de décomposition des diviseurs comprend les nombres 2 et 5, car 10 = 2 *5.
En ordonnant de manière croissante les nombres premiers selon un indice, il existe alors un indice j supérieur ou égal à 2 tel que p_{j} > 2 et p_{j-1} =2 et un indice i > 1 tel que p_{i} = 5 et p_{i-1} < 5. Au fait, il est possible que i = j, si 3 ne figure pas dans la liste des nombres premiers, sinon j < i. Or, dans le premier cas p_{l} =2 pour l entre 1 et i-1, donc 2^(i -1) *5 *p_{i+1} *p_{i+2} *p_{i+3} ..*p_{k} = 10[2(i-1) +5 +p_{i+1} +p_{i+2} +p_{i+3} ..+p_{k}], c'est-à-dire
2^(i -2) *p_{i+1} *p_{i+2} *p_{i+3} ..*p_{k} = 2(i -1) +5 +p_{i+1} +p_{i+2} +p_{i+3} ..+p_{k}]. Mais dans l'autre cas
2^(j -1) *3^(i -j) *5 *p_{i+1} *p_{i+2} *p_{i+3} ..*p_{k} = 10[2(j -1) +3(i -j) +5 +p_{i+1} +p_{i+2} +p_{i+3} ..+p_{k}], ce qui équivaut à
2^(j -2) *3^(i -j) *p_{i+1} *p_{i+2} *p_{i+3} ..*p_{k} = 2(j -1) +3(i -j) +5 +p_{i+1} +p_{i+2} +p_{i+3} ..+p_{k}. Aussi pour des nombres entiers supérieurs à 1-strictement, x_{1}, x_{2}, x_{3} .., et x_{s}, le produit x_{1} *x_{2} *x_{3} ..*x_{s} est-il supérieur à la somme x_{1} +x_{2} +x_{3} ..+x_{s}, sauf si s= 1 ou bien s=2 et x_{1} = x_{2} = 2, auxquels cas ils sont égaux. Or pour i>5, 2^(i -2) > 2(i -1) +5, donc l'égalité n'est possible, au cas i=j, que si i<6. Mais si j<i, l'égalité n'est possible que si 2^(j -2) *3^(i -j) =< 2(j -1) +3(i -j) +5, soit 1 /4 (2 /3)^j *3^i =< 3i -j +3. Or (2 /3)^j >= (2 /3)^(i -1), car 2 =< j < i. Donc (1 /4). (2 /3)^(i -1) *3^i =< 3i -2 +3, soit 2^i =< 8(i +1 /3), donc 2^(i -3) =< i +1 /3, soit 2^(i -3) =< (i -3) +3. D'où 0 =< i -3 =< 2 et 1 =< j =< i -1.

En ce qui concerne la majoration de k dans les dernières lignes, garder le terme 2^(i-2) pour encadrer k plus précisément en fonction des valeurs de i entre 1 et 6, résulte sur le tableau des intervalles de k en fonction de i suivant.

Ensuite, dans l'équation de départ, déduire la parité relative de k et j, dans chacun des cas j=1 et j>1.
Solution (2,3,5,5)