Bonjour ;
On a : u_n = cos(pi/2^2) x cos(pi/2^3) x cos(pi/2^4) x ..... x cos(pi/2^n) ;
donc :
2 sin(pi/2^n) u_n = cos(pi/2^2) x cos(pi/2^3) x cos(pi/2^4) x ..... x 2 sin(pi/2^n)cos(pi/2^n)
= cos(pi/2^2) x cos(pi/2^3) x cos(pi/2^4) x ..... x sin(pi/2^(n - 1))
= cos(pi/2^2) x cos(pi/2^3) x cos(pi/2^4) x ..... x cos(pi/2^(n - 1)) x sin(pi/2^(n - 1)) ;
donc :
2^1 sin(pi/2^n) u_n = cos(pi/2^2) x cos(pi/2^3) x ..... x cos(pi/2^(n - 1)) x sin(pi/2^(n - 1)) ;
donc :
2^2 sin(pi/2^n) u_n = cos(pi/2^2) x cos(pi/2^3) x ..... x 2 cos(pi/2^(n - 1)) x sin(pi/2^(n - 1))
= 2^2 sin(pi/2^n) u_n = cos(pi/2^2) x cos(pi/2^3) x ..... x cos(pi/2^(n - 2)) x sin(pi/2^(n - 2)) .
En réitérant cette opération , on obtient :
2^(n - 2) sin(pi/2^n) u_n = cos(pi/2^(n - (n - 2))) x sin(pi/2^(n - (n - 2)))
= cos(pi/2^2) sin(pi/2^2) ;
donc : 2^(n - 1) sin(pi/2^n) u_n = 2 cos(pi/2^2) sin(pi/2^2) = sin(pi/2) = 1 ;
donc : 2^n sin(pi/2^n) u_n = 2 ;
donc : u_n = 2/(2^n sin(pi/2^n)) = 2/pi x (pi/2^n)/sin(pi/2^n) ;
donc : lim(n --> + infini) u_n = lim (n --> + infini) 2/pi x (pi/2^n)/sin(pi/2^n) = 2/pi .
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