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belgacem
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Masculin Nombre de messages : 97
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MessageSujet: limite - suite   limite - suite EmptyVen 11 Oct 2019, 05:28

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aymanemaysae
Expert grade1


Masculin Nombre de messages : 424
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MessageSujet: Re: limite - suite   limite - suite EmptyLun 14 Oct 2019, 09:44

Bonjour ;


On a : u_n = cos(pi/2^2) x cos(pi/2^3) x cos(pi/2^4) x ..... x cos(pi/2^n) ;

donc :
2 sin(pi/2^n) u_n = cos(pi/2^2) x cos(pi/2^3) x cos(pi/2^4) x ..... x 2 sin(pi/2^n)cos(pi/2^n)
= cos(pi/2^2) x cos(pi/2^3) x cos(pi/2^4) x ..... x sin(pi/2^(n - 1))
= cos(pi/2^2) x cos(pi/2^3) x cos(pi/2^4) x ..... x cos(pi/2^(n - 1)) x sin(pi/2^(n - 1)) ;

donc :
2^1 sin(pi/2^n) u_n = cos(pi/2^2) x cos(pi/2^3) x ..... x cos(pi/2^(n - 1)) x sin(pi/2^(n - 1)) ;

donc :
2^2 sin(pi/2^n) u_n = cos(pi/2^2) x cos(pi/2^3) x ..... x 2 cos(pi/2^(n - 1)) x sin(pi/2^(n - 1))
= 2^2 sin(pi/2^n) u_n = cos(pi/2^2) x cos(pi/2^3) x ..... x cos(pi/2^(n - 2)) x sin(pi/2^(n - 2)) .

En réitérant cette opération , on obtient :
2^(n - 2) sin(pi/2^n) u_n = cos(pi/2^(n - (n - 2))) x sin(pi/2^(n - (n - 2)))
= cos(pi/2^2) sin(pi/2^2) ;

donc : 2^(n - 1) sin(pi/2^n) u_n = 2 cos(pi/2^2) sin(pi/2^2) = sin(pi/2) = 1 ;

donc : 2^n sin(pi/2^n) u_n = 2 ;

donc : u_n = 2/(2^n sin(pi/2^n)) = 2/pi x (pi/2^n)/sin(pi/2^n) ;

donc : lim(n --> + infini) u_n = lim (n --> + infini) 2/pi x (pi/2^n)/sin(pi/2^n) = 2/pi .
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naïl
Maître
naïl

Masculin Nombre de messages : 128
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MessageSujet: Re: limite - suite   limite - suite EmptyMer 01 Jan 2020, 10:02

Not a solution :
Un+1 cos(π/2^n) = Un cos(π/2^n).cos[π/2^(n+1)]
Since 2cos(a).cos(b) = cos(a+b) +cos(a-b) then
2Un+1 cos(π/2^n) = Un (cos[3π/2^(n+1)] +cos[π/2^(n+1)]) = Un cos[3π/2^(n+1)] +Un+1
Therefore [2cos(π/2^n) -1]Un+1 = Un cos[3π/2^(n+1)]
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MessageSujet: Re: limite - suite   limite - suite Empty

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