dans N3

Résoudre dans N3 :  
a+b+c=abc

*Traiter le cas d'un nombre nul.
*Hypothèse d'inconnues toutes non nulles: montrer que deux inconnues au moins sont inférieures (<3), puis y trouver dans chaque cas les solutions.
En effet, si a=0, alors b+c=0, donc b =c=0, par exemple. Et si a, b et c sont supérieurs à 0:
c+a=b(ca-1) >=ca-1. Or si c et a étaient supérieurs à 2, alors (c-1)(a-1) >=4, soit c+a-ca=<-3. Donc c<3 ou a<3. Aussi a+b >=ab-1 et b+c >=bc-1. Mais l'assertion
(a<3 ou b<3) et (b<3 ou c<3) et (c<3 ou a<3) est équivalente à (a<3 et b<3) ou (b<3 et c<3) ou (c<3 et a<3).

Bonjour;

1.

Supposons qu'au moins l'une des trois variables inconnues est nulle .
Supposons qu'on a : a = 0 ;
donc : b + c = 0 ;
donc : b = c = 0 ;
donc l'ensemble des triplets (a ; b ; c) solutions de l'équation dans ce cas est : S1 = {(0 ; 0 ; 0)} .

2.

Supposons maintenant qu'on a : (a ; b ; c) € IN*³ et au moins l'une des trois variables inconnues
est égale à 1 .
Supposons qu'on a : a = 1 ;
donc : b + c + 1 = bc ;
donc : bc - b - c - 1 = 0 ;
donc : bc - b - c + 1 - 2 = 0 ;
donc : (b - 1)(c - 1) - 2 = 0 ;
donc : (b - 1)(c - 1) = 2 ;
donc : (b - 1 = 1 et c - 1 = 2) ou (b - 1 = 2 et c - 1 = 1) ;
donc : (b = 2 et c = 3) ou (b = 3 et c = 2) ;
donc l'ensemble des triplets (a ; b ; c) solutions de l'équation dans ce cas est :
S2 = {(1 ; 2 ; 3) , (1 ; 3 ; 2) , (2 ; 1 ; 3) , (2 ; 3 ; 1) , (3 ; 1 ; 2) , (3 ; 2 ; 1)} .

2.

Supposons maintenant qu'on a : (a ; b ; c) € (IN- {0 ; 1})³ .
On a : a + b + c = abc ;
donc : a + b + c - abc = 0 ;
donc : a - abc = - b - c ;
donc : a(1 - bc) = - (b + c) ;
donc : a = (b + c)/(bc - 1) > 1 ;
donc : b + c > bc - 1 ;
donc : bc - b - c - 1 < 0 ;
donc : bc - b - c + 1 - 2 < 0 ;
donc : (b - 1)(c - 1) < 2 ;
donc : (b - 1)(c - 1) = 0 ou (b - 1)(c - 1) = 1 .

Si on a : (b - 1)(c - 1) = 0 ;
donc : b - 1 = 0 ou c - 1 = 0 ;
donc : b = 1 ou c = 1 ;
donc cette éventualité est à écarter .

Si on a : (b - 1)(c - 1) = 1 ;
donc : b - 1 = 1 et c - 1 = 1 ;
donc : b = 2 et c = 2 ;
donc l'équation initiale devient : a + 4 = 4a ;
donc : 3a = 4 ;
donc : a = 4/3 qui n'est pas un nombre entier naturel ;
donc cette éventualité est aussi à écarter .

Conclusion : l'ensemble des triplets (a ; b ; c) solutions de l'équation est :
S = {(0 ; 0 ; 0) , (1 ; 2 ; 3) , (1 ; 3 ; 2) , (2 ; 1 ; 3) , (2 ; 3 ; 1) , (3 ; 1 ; 2) , (3 ; 2 ; 1)} .