inégalité1!

soient a,b et c des réels positifs non nuls tels que ab+bc+ca=1 montrer que:
racine cubique(1/a+6b)+racine cubique(1/b+6c)+racine cubique(1/c+6a)<=1/abc

Bonjour,
Soit s le terme à gauche de l'inégalité en question.
On a ab + bc + ca = 1 alors
3abc(a + b + c) = 3(ab ac +ab bc + ac bc) =< (ab + ac + bc)² = 1; Donc 6(a + b + c) =< 2/abc =. Mais, 1/a+1/b+1/c=1/abc alors

1/a+1/b+1/c + 6(a + b + c) =< 3/abc

s =< 3/(3))^(1/3) ( 1/a+1/b+1/c + 6(a + b + c))^(1/3)

Car [ (x+y+z)/3]^3 =< (x^3+y^3+z^3)/3 pour tout x,y,z positifs.

Donc s=< 3/(abc)^(1/3) =<1/a+1/b+1/c =1/abc

AA+