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 decimales ...

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selfrespect
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Masculin Nombre de messages : 2514
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MessageSujet: decimales ...   decimales ... EmptyDim 04 Fév 2007, 20:25

salut

0,000 499 001..

L’expression ci-dessus représente l’inverse de 2004, en écriture décimale. quelle est sa 2004 eme décimale ?
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bouali
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Masculin Nombre de messages : 87
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MessageSujet: Re: decimales ...   decimales ... EmptyMer 21 Mar 2007, 21:44

le probleme consiste a trouver le reste dans la division euclidienne de 10^2004 par 2004 si on arrive atrouver ce reste la suite sera facile.
on 2004=2.2.3.167
on a pgcd[5;(3.167)]=1 donc le th d euler nous donne
5^332=1[3.167] on enleve a la puissance 6 on trouve
5^1992=1[501]donc (5^2004)=(5^12)[501] donc (10^2004)=(2^2004)(5^12)[2004]
ona 2^11=44[2004] donc (2^2002)=(44^182)[2004]
donc (2^2004)=4.(4^182)(11^182)[2004] cad (2^2004)=(2^366)(11^182)[2004]
(2^363)=(44^33)[2004] donc (2^366)=8.(4^33)(11^33)[2004]
donc (2^2004)=(2^69)(11^215)[2004]
(2^66)=(44^6)[2004] donc (2^69)=(2^15)(11^6)[2004] donc
(2^2004)=(2^15)(11^221)[2004] et ona (2^15)=(2^4).44[2004]
ca d (2^15)=(2^6).11[2004] donc (2^2004)=(2^6)(11^222)[2004]
parsuite (10^2004)=(2^6)(5^12)(11^222)[2004]
on a (11^4)=14641 donc (11^4)=613[2004]
donc (11^6)=25[2004] en enleve a la puissance 37 on trouve
(11^222)=(5^74)[2004]
donc (10^2004)=(2^6)(5^86)[2004]
on a (5^5)=1121[2004] et (5^6)=1597[2004] et (5^7)=1973[2004]
donc (5^14)=961[2004] et (5^28)=1681[2004] et (5^84)=997[2004] donc (5^86)=877[2004] donc

(10^2004)=(2^6).877[2004] et par suite
[b] (10^2004)=16[2004]

donc (10^2004)=16 +2004.k donc k est la partie entiere de (10^2004)/2004
k=[(10^2004)-16]/[4.501]=[25.(10^2002) - 4]/501
puisque le nombre [25.(10^2002) - 4] se termine par 6 alors le nombre des unite de k est agalement 6
donc le 2004eme decimale de 1/2004 est 6
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pco
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Masculin Nombre de messages : 678
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MessageSujet: Re: decimales ...   decimales ... EmptyJeu 22 Mar 2007, 07:31

Bonjour,

2004 = 3.4.167
167 premier ==> 10^166 = 1 + 167m ==> m=0[3] ==> 10^166 = 1 + 501k ==> 10^2(10^166 - 1) = 2004 q
==> 10^2/2004 = q/(10^166 - 1) avec q < 10^166 - 1

1/2004 présente donc, au delà de la deuxième décimale, une période de 166. La 2004e décimale est donc identique à la douzième (2004 - 12*166 = 12)

Il faut donc calculer le chiffre des unités du quotient de la division entière de 10^12 par 2004.
10^4 = 5*2004 - 20 ==> 10^12 = 125*2004^3 - 25*2004^2*20 + 5*2004*400 - 8000

10^12 = (125*2004^2 - 25*2004*20 + 5*400 - 4)*2004 + 16
Le quotient de la division entière de 10^12 par 2004 est donc 125*2004^2 - 25*2004*20 + 5*400 - 4.
Les trois premiers termes de cette somme valent 0 modulo 10 et ce quotient vaut donc -4 modulo 10, donc 6.

La 2004ème décimale est donc 6,
en confirmation de ce qu'annonce Bouali.

--
Patrick
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