exo comme exo

definir tous les fonction de R vers R tel que: f(a+b)=2f(a)f(b)

Bonjour,

Il y a au moins les fonctions suivantes :

f(x) = 0 sur R
f(x) = (a^x) / 2 avec a quelconque dans R+*

Après, il est difficile de dire si ce sont les seules.
Je pense que si on n'exige pas la continuité (pas dans l'énoncé) et si on accepte l'axiome du choix, on peut en exhiber une infinité d'autres.

Patrick

Soit g(x)=2f(x). qqs x,y ds IR g(x+y)=g(x)g(y)

Si g(a)= 0 pour un certain a ==> g(x)=g(x-a)g(a)=0 qqs x.
Si g ne s'annule pas ==> g(x)=g(x/2)²>0 qqs x
Soit h(x)=ln(g(x)). qqs x,y ds IR, h(x+y)=h(x)+h(y)

Oui.

Et comme les seules solutions continues pour h sont h(x) = u*x, il vient pour f

f(x) = 0
ou
f(x) = (exp(u))^x)/2

Qui sont bien les deux solutions que j'ai données.

Si on exclut la continuité et accepte l'axiome du choix, l'équation fonctionnelle h(x+y) = h(x) + h(y) possède une infinité de solutions, et donc f(x+y)=2f(x)f(y) aussi.

Patrick