suite récalcitrante

Bonjour,

On définit u(0)=3/2=u(1) et u(n+1)= 1 + sqrt( u(n)u(n-1))

Démontrez que 1/3 =< u(n+1)- u(n) =< 1 pour n >1 et donnez un équivalent de u(n) .


lolo

Bonjour

u(n+1)-u(n)=1+r(u(n)u(n-1))-u(n)=1-r(u(n))[ r(u(n)) -r(u(n-1))].

<==> u(n+1)-u(n)=1-r(u(n))[ u(n) -u(n-1)]/[ r(u(n)) +r(u(n-1))].

Donc si 1/3=<u(n) -u(n-1)=<1 alors u(n+1)-u(n)=<1

u(n+1)-u(n)=1+r(u(n)u(n-1))-u(n)>= 1+r(u(n)(u(n)-1))-u(n) >=1/3

<==> r(u(n)(u(n)-1))>=u(n) -2/3 <==> u(n) >=4/3 .
Ce qui est vrai car (u(n)) croissante

AA+

très bien , reste la fin.

lolo

indication : prouvez que u(n+1) - u(n) possède une seule valeur d'adhèrence.

lolo

Bonsoir
si u(n+1)-u(n) -->a de [1/3,1] ==> Cesaro donne u(n)/n ---> a
à suivre
AA+

Bonjour
On a (u(n)) croissante tend vers + l'infinie.

posons v(n)=u(n+1)/u(n).
1/3u(n)=<v(n)-1=<1/u(n) ==> v(n) -->1

posons w(n)=u(n+1)-u(n).

w(n)=1- x(n) w(n-1) où x(n)=1/[ 1+r(1/v(n-1))] -->1/2.

si w(n)-->a alors a=1-a/2 ==> a=2/3

à suivre
AA+

w(n)=1- x(n) w(n-1) où x(n) -->1/2.

w(n)-2/3=-1/2(w(n-1)-2/3)-(x(n)-1/2 )w(n-1)

à suivre

Bonjour
w(n)=1- x(n) w(n-1) où x(n) -->1/2.
soit a val. adh. de (w(n)) ==> a=lim w(f(n))

soit f_1(n)=f(n)-1
w(f_1(n)) --> 2(1-a)=a(1)
soit f_2(n)=f_1(n)-1
w(f_2(n)) --> 2(1-a(1))=a(2)
Ainsi de suite on construit une suite (a(n)) de [1/3,1] telle que a_0=a
et 2(1-a(n))=a(n+1)

a(n+1)-2/3=-2(a(n)-2/3) ==> |a(n+1)-2/3|=2^n|a-2/3|. Comme (a(n))
est une suite bornée alors a=2/3.
C'est terminé! u_n est équivalente à 2n/3

AA+

Bravo !