problème N°67 de la semaine (05/02/2007-11/02/2007)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr

(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Bonjour ;
Solution postée
voici la solution d'elhor abdelali

Bonjour
sollution postée
voici la solution de khamaths
Bonjour Samir

posons A = (m+1)/n +(n+1)/m € IN et d = m /\ n
soit m = d b et n = d a avec a /\ b =1
On a: Amn =m²+n²+m+n <===>Ad ab =da² +db² +a+b
====>d / a +b
====>d <= a+b
====>d² <= m+n
====>d <= Rac(m+n)

salut
solution postée.
voici la solution de selfersept
salut
soit m et n de N* tel que [((n+1)/m)+((m+1)/n)]£N (**)
(**) <==> [(n²+m²+m+n)/mn] £N
<==> [(m+n)(m+n+1)/mn] £ N (1)
Posons d=m^n
*si d=1 on a racine(m+n)>1 (m et n non nuls)
*si d#1 alors existe n' et m' tel que
n=dn' et m=dm' et n'^m'=1
alors de (1) on a d/(n'+m')(d(n'+m')+1)
d#1 ==> d/(n'+m')
==>d=<n'+m'
==>d²=<dn'+dm'=m+n (d>0)
==>d=<racine (m+n)

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki attioui
Bonjour
(m+1)/n+(n+1)/m=k ==> (m+n)(m+n+1)=(k+2)mn
Si d=PGCD(m,n) alors d²|mn , d|m+n et PGCD(m+n,m+n+1)=1
==> d²|m+n
A+

salut
solution postée
voici la solution d'aissa
salut :
(m+1)/n +(n+1)/m est entier <=>[ (m+n)(m+n+1) - 2mn]/mn est entier <=>
mn/(m+n)(m+n+1) , si d=m ^ n est le pgcd (n,m) alors d²/(m+n)(m+n+1)
alors d²/(m+n) (gauss car d est premier avec m+n+1)
alors d²=< m+n donc d =< sqrt(m+n)
وقل ربي زني علما

salut8)
*solution postée*

Salut voici la réponse de rim hariss

m et n sont des entiers naturels non nuls.

((m+1)/n + (n+1)/m) € N <=> ((m²+m+n²+n)/mn) € N.

<=>m²+m+n²+n=mn*p tel que p € N.

Puisque m et n sont non nuls on a m²+m+n²+n²>0 donc p € N*.

Donc p>=1

m²+n²+2mn+m+n=mn*p+2mn <=> (m+n) ²+ (m+n)= (p+2)mn.

(m+n)(m+n+1)= (p+2)mn

(m+n) et (m+n+1) sont premiers entre eux, donc (m+n) est un multiple de (mn)

OU (m+n+1) est multiple de (mn).

On pose m=qx et n=qy tel que q, x et y des entiers naturels non nuls.

Donc PGCD(m,n)=q et (m+n)=q(x+y)

<STRONG>La proposition PGCD(m,n)=<racine (m+n)

attention
il faut pas poster sa réponse ici!

solution postee
voici la solution de albert einstien
(m+1)/n +(n+1)/m de N DONC ( m²+m+n²+n)/mn de N on trouve que ((m+n)²+m+n-2mn)/mn de N donc ((m+n)²+m+n)/mn - 2 de N ALOR ((m+n)²+m+n)/mn est de N DONC ((m+n)(m+n+1))/mn de N on a m^n=d donc m'^n'=1 tel que m=dm' et n=dn' alor (d(m'+n')(m+n+1))/d²m'n' de N DONC ((m'+n')(m+n+1))/dm'n' de N ALOR d/(m'+n') parceque d=/1 donc d=< m'+n' alor d=< (m+n)/d donc d²=<m+n alor d=<la rasine de (m+n) si d =1 1=<la rasine de (m+n)

salut tout le monde
solution postee

voici ma solution rachid

(m+1)/n+(n+1)/m £ N

<=> m^2+n^+m+n/mn £ N
(m+n)^2+m+n-2mn £ N
(m+n)(m+n+1)/mn -2 £ N
(m+n)(m+n+1)/mn £ N


on pose m^n=d m=dm' et n=dn'

--d=1 ==> m^n=<V(m+n) /m,n£ N*
--D#1


d(m'+n')(m+n+1)/d^2m'n' £ N
<=> (m'+n')(m+n+1)/dm'n' £ N
<=> dm'n'/m'+n'
<=>d/m'+n'
<=>d=<m'+n'
<=>d^2=<m+n
<=>d=<V(m+n)
enfin m^n=<V(m+n)

mais qu'est ce qui ne va pas dans cet email ? c la deuxième fois que je poste ma réponse en problème de semaine et que ma solution "n'est pas touvé parmi les autres e-mails". meme si samir m'a expliqué comment, ça ne marche pas!!
il m'a dit de entrer dans hotmail et de me connecter et d'envoyer un message vers amateursmath@yahoo.fr et c ce que j'ai fait!!
je vais poster ma réponse ici pour voir s'il est vraie ou fausse !
please quelqu'un m'aide!!

je termine ma réponse car il y a un problème au niveau de l'envoi de la solution:
La proposition <U><STRONG>PGCD(m,n)=

pourquoi personne ne m'a répondu?