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 problème N°67 de la semaine (05/02/2007-11/02/2007)

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samir
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MessageSujet: problème N°67 de la semaine (05/02/2007-11/02/2007)   Lun 05 Fév 2007, 22:04


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samir
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MessageSujet: Re: problème N°67 de la semaine (05/02/2007-11/02/2007)   Lun 05 Fév 2007, 22:06

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr

(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

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elhor_abdelali
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MessageSujet: Re: problème N°67 de la semaine (05/02/2007-11/02/2007)   Mar 06 Fév 2007, 20:18

Bonjour ;
Solution postée farao
voici la solution d'elhor abdelali
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khamaths
Maître


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MessageSujet: Re: problème N°67 de la semaine (05/02/2007-11/02/2007)   Mer 07 Fév 2007, 19:02

Bonjour
sollution postée Neutral
voici la solution de khamaths
Bonjour Samir

posons A = (m+1)/n +(n+1)/m € IN et d = m /\ n
soit m = d b et n = d a avec a /\ b =1
On a: Amn =m²+n²+m+n <===>Ad ab =da² +db² +a+b
====>d / a +b
====>d <= a+b
====>d² <= m+n
====>d <= Rac(m+n)
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selfrespect
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MessageSujet: Re: problème N°67 de la semaine (05/02/2007-11/02/2007)   Ven 09 Fév 2007, 12:06

salut
solution postée. king
voici la solution de selfersept
salut
soit m et n de N* tel que [((n+1)/m)+((m+1)/n)]£N (**)
(**) <==> [(n²+m²+m+n)/mn] £N
<==> [(m+n)(m+n+1)/mn] £ N (1)
Posons d=m^n
*si d=1 on a racine(m+n)>1 (m et n non nuls)
*si d#1 alors existe n' et m' tel que
n=dn' et m=dm' et n'^m'=1
alors de (1) on a d/(n'+m')(d(n'+m')+1)
d#1 ==> d/(n'+m')
==>d=<n'+m'
==>d²=<dn'+dm'=m+n (d>0)
==>d=<racine (m+n)
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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: problème N°67 de la semaine (05/02/2007-11/02/2007)   Ven 09 Fév 2007, 12:18

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki attioui
Bonjour
(m+1)/n+(n+1)/m=k ==> (m+n)(m+n+1)=(k+2)mn
Si d=PGCD(m,n) alors d²|mn , d|m+n et PGCD(m+n,m+n+1)=1
==> d²|m+n

A+

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aissa
Modérateur


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MessageSujet: SOLUTION DU PROB :67   Ven 09 Fév 2007, 15:35

salut
solution postée
voici la solution d'aissa
salut :
(m+1)/n +(n+1)/m est entier <=>[ (m+n)(m+n+1) - 2mn]/mn est entier <=>
mn/(m+n)(m+n+1) , si d=m ^ n est le pgcd (n,m) alors d²/(m+n)(m+n+1)
alors d²/(m+n) (gauss car d est premier avec m+n+1)
alors d²=< m+n donc d =< sqrt(m+n)

وقل ربي زني علما
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rim hariss
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MessageSujet: réponse   Sam 10 Fév 2007, 00:05

salut8)
*solution postée*

Salut voici la réponse de rim hariss

m et n sont des entiers naturels non nuls.

((m+1)/n + (n+1)/m) € N <=> ((m²+m+n²+n)/mn) € N.

<=>m²+m+n²+n=mn*p tel que p € N.

Puisque m et n sont non nuls on a m²+m+n²+n²>0 donc p € N*.

Donc p>=1

m²+n²+2mn+m+n=mn*p+2mn <=> (m+n) ²+ (m+n)= (p+2)mn.

(m+n)(m+n+1)= (p+2)mn

(m+n) et (m+n+1) sont premiers entre eux, donc (m+n) est un multiple de (mn)

OU (m+n+1) est multiple de (mn).

On pose m=qx et n=qy tel que q, x et y des entiers naturels non nuls.

Donc PGCD(m,n)=q et (m+n)=q(x+y)

<STRONG>La proposition PGCD(m,n)=<racine (m+n)


Dernière édition par le Lun 12 Fév 2007, 21:06, édité 4 fois
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saad007
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MessageSujet: Re: problème N°67 de la semaine (05/02/2007-11/02/2007)   Sam 10 Fév 2007, 21:22

voici la solution de g_unit_akon
on a m²+n²+n+m/mn apartient a N
alors (m+n)²+m+n/mn-2 aprtient a N
donc (m+n)(m+n+1)/mn apartient a N
supposant m^n=d alors m=d.a et n=d.b avec a^b=1
donc d(a+b)(d(a+b)+1)/d²ab apartient a N
alors d/(a+b)(d(a+b)+1)
on a trois cas: d/a+b ou bien d/d(a+b)+1) ou bien (d/a+b et d/d(a+b))

si d/a+b alors d²/m+n donc d²<m+n alors d<racine de m+n

si d/d(a+b)+1 alors d/1 donc d=1 alors d<racine de m+n ,car racine de n+m>racine de 2

si on a /a+b et d/d(a+b)+1) c la meme demonstration
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rim hariss
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MessageSujet: réponse urgence   Sam 10 Fév 2007, 22:00

attention
il faut pas poster sa réponse ici!No
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tres ...
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MessageSujet: albert   Dim 11 Fév 2007, 11:51

solution postee Very Happy lol!
voici la solution de albert einstien
(m+1)/n +(n+1)/m de N DONC ( m²+m+n²+n)/mn de N on trouve que ((m+n)²+m+n-2mn)/mn de N donc ((m+n)²+m+n)/mn - 2 de N ALOR ((m+n)²+m+n)/mn est de N DONC ((m+n)(m+n+1))/mn de N on a m^n=d donc m'^n'=1 tel que m=dm' et n=dn' alor (d(m'+n')(m+n+1))/d²m'n' de N DONC ((m'+n')(m+n+1))/dm'n' de N ALOR d/(m'+n') parceque d=/1 donc d=< m'+n' alor d=< (m+n)/d donc d²=<m+n alor d=<la rasine de (m+n) si d =1 1=<la rasine de (m+n)
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Euclideofthehole
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MessageSujet: Re: problème N°67 de la semaine (05/02/2007-11/02/2007)   Dim 11 Fév 2007, 22:53

salut tout le monde
solution postee farao

voici ma solution rachid

(m+1)/n+(n+1)/m £ N

<=> m^2+n^+m+n/mn £ N
(m+n)^2+m+n-2mn £ N
(m+n)(m+n+1)/mn -2 £ N
(m+n)(m+n+1)/mn £ N


on pose m^n=d m=dm' et n=dn'

--d=1 ==> m^n=<V(m+n) /m,n£ N*
--D#1


d(m'+n')(m+n+1)/d^2m'n' £ N
<=> (m'+n')(m+n+1)/dm'n' £ N
<=> dm'n'/m'+n'
<=>d/m'+n'
<=>d=<m'+n'
<=>d^2=<m+n
<=>d=<V(m+n)
enfin m^n=<V(m+n)
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rim hariss
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MessageSujet: réponse   Lun 12 Fév 2007, 20:48

mais qu'est ce qui ne va pas dans cet email ? c la deuxième fois que je poste ma réponse en problème de semaine et que ma solution "n'est pas touvé parmi les autres e-mails". meme si samir m'a expliqué comment, ça ne marche pas!!
il m'a dit de entrer dans hotmail et de me connecter et d'envoyer un message vers amateursmath@yahoo.fr et c ce que j'ai fait!!
je vais poster ma réponse ici pour voir s'il est vraie ou fausse !
please quelqu'un m'aide!!
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rim hariss
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MessageSujet: réponse   Lun 12 Fév 2007, 21:13

je termine ma réponse car il y a un problème au niveau de l'envoi de la solution:
La proposition <U><STRONG>PGCD(m,n)=
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rim hariss
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MessageSujet: Re: problème N°67 de la semaine (05/02/2007-11/02/2007)   Lun 12 Fév 2007, 21:15

je peux pa terminer il ya un problèmes: ma réponse ne s'affiche pas ici non plus!!
avant je l'ai écrit sur word et je l'ai gardé. quand je voulus la poster ici maintenant, j'ai copié le contenu et je l'ai collé ici et je l'ai envoyé: la réponse ne s'affiche pas complétement ou ne s'affiche pas!!
aidez moi svp comment faire?


Dernière édition par le Lun 12 Fév 2007, 21:22, édité 1 fois
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rim hariss
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MessageSujet: réponse   Lun 12 Fév 2007, 21:17

Salut voici la réponse de rim hariss

m et n sont des entiers naturels non nuls.

((m+1)/n + (n+1)/m) € N ó ((m²+m+n²+n)/mn) € N.

ó m²+m+n²+n=mn*p tel que p € N.

Puisque m et n sont non nuls on a m²+m+n²+n²>0 donc p € N*.

Donc p>=1

m²+n²+2mn+m+n=mn*p+2mn <=> (m+n) ²+ (m+n)= (p+2)mn.

(m+n)(m+n+1)= (p+2)mn

(m+n) et (m+n+1) sont premiers entre eux, donc (m+n) est un multiple de (mn)

OU (m+n+1) est multiple de (mn).

On pose m=qx et n=qy tel que q, x et y des entiers naturels non nuls.

Donc PGCD(m,n)=q et (m+n)=q(x+y)

La proposition PGCD(m,n)=<racine (m+n) est équivale à:

PGCD²(m,n)=< (m+n) ó q²=<q(x+y) ó q=<x+y ó (x+y)/q>=1

Donc pour prouver que PGCD(m,n)=<racine (m+n) il suffit de montrer que (x+y)/q>=1

si (m+n) est multiple de (mn):

m+n=a*mn tel que a appartient à N*

q(x+y)=a*qx*qy=axy*q²

x+y=aqxy ó (x+y)/q=axy

(a,x,y) appartiennent à (N*)^3 donc a>=1 , x>=1 et y>=1

Donc axy>=1 ó (x+y)/q>=1

Donc PGCD(m,n)=<racine (m+n) pour (m+n) multiple de (mn). (1)

si (m+n+1) est multiple de (mn) :

(m+n+1)=amn tel que a appartient à N*

qx+qy+1=aq²xy ó (x+y)/q + 1/q²=axy ó (x+y)/q =axy –1/q².

On sait que :

(m+n)(m+n+1)= (p+2)mn ó (m+n)amn=(p+2)mn ó a(m+n) =p+2

ó m+n= (p+2)/a ó (m+n+1) = (p+2+a)/a

On a m>=1 et n>=1 donc m+n+1>=3 ó (a+p+2)/a>=3

a+p+2>=3a ó p>=2a-2 ó p>=2(a-1) et a>=1

Si a=1 on a p>=2*(1-1)=2*0=0 ó p>=0

Et cela est impossible car p € N*

Donc a n’est pas égale à 1

a>1 ó a>=2 (a € N*)

x>=1 et y>=1 donc xy>=1 ó axy>=2*1 ó axy>=2

q>=1 ó q²>=1 ó 1/q²=<1 ó -1/q²>=-1

Donc axy – 1/q²>=2-1 ó axy - 1/q²>=1 ó (x+y)/q>=1

Donc PGCD(m,n)=<racine (m+n) pour (m+n+1) multiple de (mn). (2)

De (1) et de (2) on conclut que PGCD(m,n)=<racine (m+n) pour tout (m,n) € à (N*)² et

(m+1/n + n+1/m) appartient à N
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rim hariss
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MessageSujet: réponse   Lun 12 Fév 2007, 21:30

ó veut dire <=>
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rim hariss
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MessageSujet: réponse   Mar 13 Fév 2007, 16:49

pourquoi personne ne m'a répondu?Mad
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MessageSujet: Re: problème N°67 de la semaine (05/02/2007-11/02/2007)   

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