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 rectangle de cotés entiers

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abdelbaki.attioui
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abdelbaki.attioui

Masculin Nombre de messages : 2558
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MessageSujet: rectangle de cotés entiers   rectangle de cotés entiers EmptySam 10 Fév 2007, 11:23

On prend ungrand rectangle de IR² décomposé en petits rectangles qui possèdent chacun au moins un coté de mesure entière . Le but est de montrer qu'il en est de même du grand rectangle

_________________
وقل ربي زد ني علما
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mathman
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rectangle de cotés entiers Empty
MessageSujet: Re: rectangle de cotés entiers   rectangle de cotés entiers EmptySam 10 Fév 2007, 13:06

Oui, c'est un problème assez connu; voir par exemple :
http://www.rms-math.com/spip.php?article844
(il y a un article de l'AMM qui présente 14 preuves pour ce problème).

Voici une solution très courte :
on place le rectangle (parallèlement aux axes de coordonnées) dans un quadrillage infini 1/2*1/2 dont les carrés sont coloriés comme sur un échiquier. Alors on remarque qu'un rectangle possède (au moins) un côté de mesure entière ssi l'aire de ses points noirs est égale à l'aire de ses points blancs et... c'est tout!
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