problème N°68 de la semaine (12/02/2007-18/02/2007)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr

(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Bonjour ;
Solution postée

voici la solution d'elhor abdelali

Bonjour !

Solution postée

voici la solution de rolbaro
On souhaite calculer : I = int(0,pi/2) dx/(1+(tan(x))^3

On pose x = arctan(t) = A(t) A est de Classe C1
A'(t) = 1/(1+t²)

Donc A est un C1 diféomorphisme de [0,+OO[ sur [0,pi/2[ . Ainsi :

I = int(0,+OO) dt/[(1+t^3)(1+t²)]

On fait une décomposition en éléments simples sachant que :

(1+t^3) = (1+t)(t²-t+1)

On obtient alors :

1/[(1+t^3)(1+t²)] = (1/6).(1/(1+t)) - (1/3).((2t-1)/(t²-t+1)) + (1/2).(t+1)/(t²+1)

Soit encore :

1/[(1+t^3)(1+t²)] = (1/6).(1/(1+t)) - (1/3).((2t-1)/(t²-t+1)) + (1/4).(2t/(t²+1)) + (1/2).(1/(1+t²))

D'où les primitives sont :

(1/6).ln|1+t| - (1/3).ln|t²-t+1| + (1/4).ln|t²+1| + (1/2).arctan(t) + cste

= (1/12).ln[(1+t)²(t²+1)^3/(t²-t+1)^4] + (1/2).arctan(t) + cste

Or :

lim (t -> 00) ln[(1+t)²(t²+1)^3/(t²-t+1)^4] = 0 car (1+t)²(t²+1)^3/(t²-t+1)^4 ~ t^8/t^8 = 1 et ln(1) = 0

lim (t -> 00) arctan(t) = pi/2

ln[(1+0)²(0²+1)^3/(0²-0+1)^4] = ln(1) = 0

arctan(0) = 0

D'où :

I = (1/2).pi/2 = pi/4

Merci pour l'énigme !

solution postée

voici la solution de selfrespect

salut Mr Samir
posons :

posons y=pi/2-x ==>dx=-dy alors

donc

==>
==>

solution postée
voici la solution d'aissaSALUT:
on pose tan(t)= u u élément [0, +oo[ l'integral devient:
lim [ int(0^x,du/(1+u²)(1+u^3) ] quand x tend vers +oo) aprés decomposition en élément simples et passage à la limite on trouve:pi/4- -4V(3)pi/27 sauf erreur de calcul.

Bonjour

Solution postée
voici la solution de khamathsBonjour Samir

Soit: I = int_0^pi/2 (1/(1+tg^3(x)) dx
I = pi/2 - int_0^pi/2 [ tg^3 (x)/(1+ tg^3(x))]dx
Notons J cette 2ème intégrale.
I -J = int_0^pi/2[(1-tg^3(x))/(1+tg^3(x))] dx
En posant t = tg( pi/4 - x) = (1-tgx)/ (1+tgx)===>dt = - (1+t²)dx et tg(x) = (1-t)/(1+t)
I-J = int_(-1)^1 [(3t+t^3)/ [(1+t²)(1+3t²)]]dt = 0 ( puisque la fraction à intégrer sur [-1;1]est impaire)

Conclusion : I = pi/4