Salut selfrespect,
Joli problème!
Soit x0 l'entier dont on part.
Soit n la partie entière de la racine de x0.
On a donc : x0 = n^2 + a, avec a dans [0, 2n+1[
Le nombre x1 qui suit x0 dans le processus est donc x1 = x0 + n
1) si a=0, on a fini, x0 est un carré parfait
2) si a < n+1, alors
x1 = x0 + n = n^2 + n + a < (n+1)^2
Donc x2 = x1 + n = n^2 + 2n + a = (n+1)^2 + (a-1)
Evidemment (a-1) < (n+1)+1
On est donc encore dans le cas 2)
Donc x4 = (n+2)^2 + (a-2)
...
x_(2a) = (n+a)^2
et on atteint le carré parfait (n+a)^2 en (2a) étapes
3) si a = n+1, alors :
x1 = x0 + n = n^2 + n + a = (n+1)^2
et on atteint le carré parfait (n+1)^2 en 1 étape
4) si a > n+1
x1 = x0 + n = n^2 + n + a > (n+1)^2
Donc x2 = x1 + n + 1 = n^2 + 2n + a + 1 = (n+1)^2 + a
On est donc à nouveau dans le cas 3 ou 4
et on atteint le carré parfait a^2 en (2a-2n-1) étapes
Voilà
Patrick
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un nombre entier naturel quelconqu. On lui ajoute la partie entiere par défaut de sa racine carrée. Puis on continue le processus avec le nouvel entier ainsi obtenu. Démontrer qu’après un nombre fini d’itérations, on obtient un carré parfait.
merci bien c est vraiment une JOLIE PREUVE .