problème N°10 de la semaine (02/01/2006-08/01/2006 )

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr

puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir le condition de participation
Merci

"solution postée"
voici la solution
par raison de symetrie,on peut supposer que a>=b>=c
(b+c-1)/a <= 2-1/a
d ou (b+c-1)/a = 0 ou 1
0 est impossible car ds ce cas b+c=1 ( b=0 ou c=0 impossible)
alors on déduit que b+c-1=a
d autre part: b divise a+c-1=b+2c-2
d ou b divise 2(c-1) et c divise 2(c-1)
2(c-1)/b<2 d ou c=1 ou 2(c-1)=b
si c=1 alors b=a d ou (a,a,1) solution
si b=2(c-1) : comme c divise a+b-1=2b+c-2=4(c-1)+c-2
d ou c divise 6
d ou c=2,3 ou 6
si c=2 alors b=2 et a=3
si c=3 alors b=4 et a=6
si c=6 alors b=10 et a=15
conclusion S={(a,a,1) / (a non nul) ; (3,2,2) (6,4,3)(15,10,6) et toutes leurs permutations }

solution trouvée mais flemme de poster (3 soluces "non triviales" 2 3 6)

Bonjour
solution postée
AA+
voici la solution
Soit a>=b>=c>=1 solution.
2a>=b+c>=2 ==> 2a>b+c-1>0
Or b+c-1 multiple de a d'où b+c=a+1

c divise a+b-1=2b+c-2 <==> c divise 2(b-1)
b divise a+c-1=b+2c-2 <==> b divise 2(c-1)

2(b-1)=mc <==> 2b-mc=2
2(c-1)=nb <==> nb-2c=-2
(4-mn)b= 4+2m et (4-mn)c= 4+2n

alors 0=<mn=<3 et n=<m
si mn=0 ==> n=0 et m=2k ==> c=1, b=1+k et a=1+k avec k dans IN
si mn=1 ==> m=1 et n=1 ==> b=2 , c=2 et a=3
si mn=2 ==> m=2 et n=1 ==> b=4 , c=3 et a=6
si mn=3 ==> m=3 et n=1 ==> b=10 , c=6 et a=15

les solutions sont:
{(1+k,1+k,1); (1+k,1,1+k); (1,1+k,1+k)/ k dans IN}
{(3,2,2) ; (2,3,2) ; (2,2,3)}
{(6,4,3) ; (6,3,4) ; (4,6,3) ; (4,3,6); (3,6,4) ; (3,4,6)}
{(15,10,6); (15,6,10); (10,15,6); (10,6,15); (6,15,10); (6,10,15)}

solution postée
voici la solution
on va prouver par absurde que a = b = c = 0 est la seule solution .

supposons que au moins un des nombres n'est pas egales a 0 ;

a appartient N -> a = [a] -> 2 * a > [a]

b = 0 -> 2 * b = [b]

c = 0 -> 2 * c = [c]

on conclut que :

2 * a + 2 *b + 2 *c > [a] + [b] + [c]

ce qui est contradictoire aux données ,puisque selon l'ennoncé :

2 * a + 2 *b + 2 *c = [a] + [b] + [c]

ainsi ,on peut deduire que a = b = c = 0

bonjour à tous les membres
la participation au problème N°10 est términée (si d'autres membres ont une autre solution ils peuvent la poster ici( aller tutu))
les bonnes réponses sont de
abdelbaki.attioui
bel_jad5
la solution de toetoe est fausse (il n'a pas bien compris l'enoncé ) mais on le remercie de sa participation
bravo . et bonne chance pour le problème N°11
A+