Equation fonctionnelle!

J'espere que c juste

- si x=0 on a yf(0)=0 mais y est variable donc f(0)=0

-si y=-x on a f(2x)=-f(-2x) donc f est impair

Donc on peut dire que f(x)=x^(2k+1) avec k entier:
Si nous savon cela on doit seulement solver

2^(2k-2).x^(2k)- 2^(2k-2).y^(2k)= x²-y²
donc k=1

Conclusion f(x)=x^3 (j'espere, c'est tout)

Bonjour,

Amazigh a écrit:

Donc on peut dire que f(x)=x^(2k+1) avec k entier:

Non, il n'y a aucune raison de passer de f impaire à f monôme de degré impair. Il y a un tas d'autres fonctions impaires.

En revanche, on peut être direct :
yf(2x) - xf(2y) = 8xy(x^2 - y^2) = y(2x)^3 - x(2y)^3
==>
y [f(2x) - (2x)^3] = x [f(2y) - (2y)^3]
==>
Pour x nul f(x) = 0
Pour x et y non nuls :

[f(2x) - (2x)^3]/x = [f(2y) - (2y)^3]/y

et donc
[f(2x) - (2x)^3]/x = cste
et donc
f(x) = x^3 + cste x/2

D'où la solution générale : f(x) = x^3 + ax

Merci pco.

Mahdi a écrit:

y=1 et x=X/2 et c=f(2) => f(X)-Xc/2=X^3-4X
donc f(x)=x^3+bx avec b fixé
en remplacant on trouve que c'est bien une solution