un petit defi

[b]Q==>Q f(x+y)=f(x)+f(y) et f(xy)=f(x)*f(y)
definir toutes les applications

app lineaires

est ce que vous pouvez preciser?

JE CROIS QUE LA REPONCE EST L'APPLICATION NULLE ET L'APPLICATION IDENTIQUE

g_unit_akon a écrit:

JE CROIS QUE LA REPONCE EST L'APPLICATION NULLE ET L'APPLICATION IDENTIQUE

autren question;
determiner les fcts f (derivables )de R dans R tel que
f(x+y)=f(x)+f(y) .

JE PENSE QU'IL FAUT REPONDRE A MA QUESTION D'ABORD

selfrespect a écrit:

g_unit_akon a écrit:

JE CROIS QUE LA REPONCE EST L'APPLICATION NULLE ET L'APPLICATION IDENTIQUE

autren question;
determiner les fcts f (derivables )de R dans R tel que
f(x+y)=f(x)+f(y) .

la fonction id

je pense que mahdi a raison ilsuffit de prouver que f(0)=0 alrs???


svp MON PROBLEME

01111111(?) J'ATTEND TOUJOURS TA REPONCE

g_unit_akon a écrit:

je pense que mahdi a raison ilsuffit de prouver que f(0)=0 alrs???


svp MON PROBLEME

Ok je vais te repondre le plus proche possible.

Mahdi a écrit:

selfrespect a écrit:

g_unit_akon a écrit:

JE CROIS QUE LA REPONCE EST L'APPLICATION NULLE ET L'APPLICATION IDENTIQUE

autren question;
determiner les fcts f (derivables )de R dans R tel que
f(x+y)=f(x)+f(y) .

la fonction id

verifier que f;x--->ax verifie lenoncé
la question est ce qu elle unique,??

g_unit_akon a écrit:

[b]Q==>Q f(x+y)=f(x)+f(y) et f(xy)=f(x)*f(y)
definir toutes les applications

fonction id et fonction nulle.

je l'ai deja mentionné c serait gentil si tu reveles ta methode

x=y=0
f(0)=2f(0) et f(0)=f(0)²
donc 2f(0)=f(0)
f(0)=0

alors qlq n £ IN n=1+1+....+1 (n fois ) ==> f(n)=nf(1) (f(1)+f(1)+....f(1))
et pour n £ Z- on a -n >0 ==> f(-n)=-nf(1)
or f est impair ( x=-y)
==> -f(n)=-nf(1)==> f(n)=nf(1)
et pour x £ Q (x=p/q , £ Z*N*) et f(p)=f(qx)=qf(x) (recurrence simple)
==> f(p)=pf(1)=qf(x) (car p £ Z)
==>f(x)=p/qf(1)=xf(1)
et on peut poser f(1)=a

desole mai je n'ai pas saisie l'ide

ou tu as trouve la difficulte ?

why f :Q=>Q. on peux poser f:R=>R. c est equivalent de trouver les enmorphismes de corps R.voici ma solution:

on a d apres la condition 1: on peux montrer f =f(1)x.(comme sinchy)
pour x irationel.
on a f(x^2)=f(x)^2 donc si x>=0 => f(x)>=0.
or f est impaire donc soit x>=0.
on a f(x-y)=f(x)-f(y).
donc si x>y => f(x)>f(y).=> f croissant
maintenant utilisons que Q est dense dans R.ie(pour tous real existe deux suite de rationel tel p(k)<=x<=q(k) => f(p(k))<=f(x)<=f(q(k)). en passant a la limite on touve f(x)=f(1)x. pour tous real.(car f impaire)

bon premierement on a f(1)=1ou 0
si f(1)=0==>on pose y=0 ==>f(x)=0

puis f(1)=1 on demontre par reccurence que qulq napp a N f(n)=n
et on deduit sur Z(-n app aN) et ensuite sur Q (p/q)

et enfin on trouve que la reponce est lapplication nulle et l'application identique

ALORS QU'EST CE QUE VOUS EN PENSEZ
J'AIMERAIS BIEN AVOIR UNE METHODE PLUS SIMPLE SVP

MERCI A TOUS

Bonjour,

Voilà peut-être plus simple (mais je trouve que les solutions que l'on t'a proposées sont déjà simples) :
1) f(x) = 0 est évidemment solution
2) supposons alors f non identiquement nulle. Soit x0 tq f(x0) soit non nul. Alors :
f(nx0) = nf(x0) (puisque f(x+y) = f(x) + f(y)) et f(nx0) = f(n)f(x0) (puisque f(xy) = f(x)f(y)) ==> f(n)f(x0) = nf(x0)
==> f(n) = n pour tout n > 0 puisque f(x0) est non nul par hypothèse.

Donc 1 = f(1) = f(q/q) = f(q) f(1/q) = q f(1/q) ==> f(1/q) = 1/q pour tout q > 0 ==> f(p/q) = f(p)f(1/q) = p/q
==> f(x) = x sur Q+*

On a tout de suite f(0)=0 ==> f(x) = x sur Q+

Et donc f(0-x) = f(0) - f(x) = -f(x) ==> f(x) = x sur Q

Et le résultat est bien f(x)=0 ou f(x)=x

Trouves-tu cela plus simple ?
--
Patrick

pco a écrit:

Bonjour,

Voilà peut-être plus simple (mais je trouve que les solutions que l'on t'a proposées sont déjà simples) :
1) f(x) = 0 est évidemment solution
2) supposons alors f non identiquement nulle. Soit x0 tq f(x0) soit non nul. Alors :
f(nx0) = nf(x0) (puisque f(x+y) = f(x) + f(y)) et f(nx0) = f(n)f(x0) (puisque f(xy) = f(x)f(y)) ==> f(n)f(x0) = nf(x0)
==> f(n) = n pour tout n > 0 puisque f(x0) est non nul par hypothèse.

Donc 1 = f(1) = f(q/q) = f(q) f(1/q) = q f(1/q) ==> f(1/q) = 1/q pour tout q > 0 ==> f(p/q) = f(p)f(1/q) = p/q
==> f(x) = x sur Q+*

On a tout de suite f(0)=0 ==> f(x) = x sur Q+

Et donc f(0-x) = f(0) - f(x) = -f(x) ==> f(x) = x sur Q

Et le résultat est bien f(x)=0 ou f(x)=x

Trouves-tu cela plus simple ?
--
Patrick

merci PCO je crois que ma reponce est simple mais un peu longue c tout