olympiades de mathematiques 2008

c'est l'olymp d'aujourd'hui

exercice 1
ABC est un triangle isocéle de sommet C et (C) est le cercle circonscrit à ce triangle . la droite passant par A est perpendiculaire à (BC) coupe (BC) en D et coupe (C) en E . soit F le point d'intersection de (BE) et du cercle de diametre [BC] (F different à B )
montrer que AD =BF

exercice 2

(a(n))n>=1 et (b(n))n>=1 sont deux suites telles que :

a(n+1) = 2b(n) -3a(n)
b(n+1) = 2a(n) -b(n) pour tout n de N*

1) montrer que : a(n+1) = 2( a1 + b1 ) -3a(n) pour tout n de N*
2) calculer a(n) en fonction de n et de a1 pour tout n de N*

exercice 3

f est une fonction définie sur [0.1]telle que :

|f(x1) -f(x2)|<|x1-x2| pour tout x1 et x2 éléments distincts de l'intervalle [0.1]
on suppose que f(0)=f(1)=0 montrer que

(pour tt x1 ;x2 de [0.1]) |f(x1) -f(x2)|<1/2

Ex3
On a qqs x dans [0,1] , |f(x)|=<1/4 car
Si x est dans ]0,1/4] , |f(x)-f(0)|....

j'ai trouvée la 1ere question du 2eme exo à l'aide de la recurence
pour le 3eme j'ai juste suposée que |f(x1) -f(x2)>=1/2 pour tt x de [0.1] est une proposition vraie.
==> f(1)- f(0) >=1/2 en posant x1=1 et x2=0
==>0>=1/2 impossible
donc........

sokainasakasakita a écrit:

j'ai trouvée la 1ere question du 2eme exo à l'aide de la recurence
pour le 3eme j'ai juste suposée que |f(x1) -f(x2)>=1/2 pour tt x de [0.1] est une proposition vraie.
==> f(1)- f(0) >=1/2 en posant x1=1 et x2=0
==>0>=1/2 impossible
donc........

Non

hier j ai resolu le deuxieme exrcice et le dernier.en fait ces trois exercices sont tres classiques et tres connus et deja proposés nationalement.

nn je me suis trompé le deuxieme exrcice a ete reformulé ( plus facile mnt)

la deuxieme question etait :


sachant que (a_n) est sup à 0 pour tt n demontrer que a_1=b_1

abdelbaki.attioui a écrit:

sokainasakasakita a écrit:

j'ai trouvée la 1ere question du 2eme exo à l'aide de la recurence
pour le 3eme j'ai juste suposée que |f(x1) -f(x2)>=1/2 pour tt x de [0.1] est une proposition vraie.
==> f(1)- f(0) >=1/2 en posant x1=1 et x2=0
==>0>=1/2 impossible
donc........

Non

c koi ce non tout sec
justifie ta réponse

sokainasakasakita a écrit:

j'ai trouvée la 1ere question du 2eme exo à l'aide de la recurence
pour le 3eme j'ai juste suposée que |f(x1) -f(x2)>=1/2 pour tt x de [0.1] est une proposition vraie.
==> f(1)- f(0) >=1/2 en posant x1=1 et x2=0
==>0>=1/2 impossible
donc........

Il a raison ton raisonnement mathematique est faux si tu veux demontrer que la negation de la proposition est impossible il faut d abord bien faire la negation dans ce cas tu dis on suppose qui il existe deux reels x_1 et x_2 de l intervalle 0--1 tels que |f(x1) -f(x2)|>=1/2 et tu continues.
pour la premiere question du deuxieme exercice le resultat demendé decoule du fait que a_n+b_n=a_1+b_1. ( par recurrence si tu veux )

bonne chance

Ce non = c faux
l'absurde ne marche po ici. (ne refais plus jamais la même erreur )

mr abdelbaki.attioui ,peut tu completer ton resonnement en ce qui concerne le 3eme exercice?

mr vietname2007 tu as ecris :hier j ai resolu le deuxieme exrcice et le dernier.en fait ces trois exercices sont tres classiques et tres connus et deja proposés nationalement
peut tu m'indiqer ou tu les as trouvé? ou me les envoyer par msn voila le mien: adnane-raf@hotmail.com
merci

pour la premiere queston du 2eme exo il suffit d'additioner les deux equtions
ainsi on obtiendra An+1 + Bn+1 = An +Bn= ....=A1 +B1
et en utilisant la premiere equation on obtiendra le resultat

sokainasakasakita a écrit:

j'ai trouvée la 1ere question du 2eme exo à l'aide de la recurence
pour le 3eme j'ai juste suposée que |f(x1) -f(x2)>=1/2 pour tt x de [0.1] est une proposition vraie.
==> f(1)- f(0) >=1/2 en posant x1=1 et x2=0
==>0>=1/2 impossible
donc........

salut ce raisonnement est faux
car;
le but est de montrer que pour tt x et y de [0.1] que lf(x)-f(y)l<1/2
et ne pas montrer que pour tt n de N que ...
(lindictation x1 et x2 peut etre remplacé par x et y )

je vois qu'il y a aucunne reponse

pareil

EX3/
ona pour tout x de[o,1/2] on a |f(x)|=|f(x)-f(o)|<|x| =<1/2
pour tout x de [1/2,1] on a |f(x)|=|f(x)-f(1)|<|1-x|=<1/2
donc pour tout x de[o,1] on a : |f(x)|<1/2 CQFD.

aissa a écrit:

EX3/
ona pour tout x de[o,1/2] on a |f(x)|=|f(x)-f(o)|<|x| =<1/2
pour tout x de [1/2,1] on a |f(x)|=|f(x)-f(1)|<|1-x|=<1/2
donc pour tout x de[o,1] on a : |f(x)|<1/2 CQFD.

prend par exemple : x1=0.9 et x2 = 0.1 et f(x1) = 0.8 et f(x2) = 0.2

Conan a écrit:

aissa a écrit:

EX3/
ona pour tout x de[o,1/2] on a |f(x)|=|f(x)-f(o)|<|x| =<1/2
pour tout x de [1/2,1] on a |f(x)|=|f(x)-f(1)|<|1-x|=<1/2
donc pour tout x de[o,1] on a : |f(x)|<1/2 CQFD.

prend par exemple : x1=0.9 et x2 = 0.1 et f(x1) = 0.8 et f(x2) = 0.2

NON MR AISSA A RAISON IL A utiluse le fait que f(0)=f(1)=0

si on dissine on trouve deux angle qui ont la meme mesur(yahsoran nafs l9aws) dans deux triangle a angle 90° .alor il ont le même cos puis on trove la resulta. et voila

an+1=2bn-an bn+1= 2an-bn
an =2bn-1-an-1 bn =2an-1-bn-1
. .
. .
. .
. .
. .
a2 =2b1-a1 b2 = 2a1-b1

on va calculer chacune puis tous les deux résulta et en trouve:
an+1=a1+b1-bn+1
et en remplace bn+1 par les premier doner d'exercice.
et on termin

"an+1=2bn-an" seul et "bn+1=2an-bn" seul

loul

qui a suprimé ma réponce? meme s'elle est fausse et je ne le croix pas il faut pas qu'elle soit suprimée!!
f(o)=o et f(1)=o alors f(x)=f(x)-f(o) =f(x)-f(1)
par disjonction des cas pour tout x de [o,1] on a x est dans [o,1/2] ou x est dans [1/2,1]
si x est dans [o,1/2] alors |f(x)|=|f(x)-f(o)|<|x| =<1/2.
si x est dans [1/2,1] alors |f(x)|=|f(x)-f(1)|<|x-1|=<1/2
donc pour tout x de [o,1] on a : |f(x)|<1/2.

aissa a écrit:

qui a suprimé ma réponce? meme s'elle est fausse et je ne le croix pas il faut pas qu'elle soit suprimée!!
f(o)=o et f(1)=o alors f(x)=f(x)-f(o) =f(x)-f(1)
par disjonction des cas pour tout x de [o,1] on a x est dans [o,1/2] ou x est dans [1/2,1]
si x est dans [o,1/2] alors |f(x)|=|f(x)-f(o)|<|x| =<1/2.
si x est dans [1/2,1] alors |f(x)|=|f(x)-f(1)|<|x-1|=<1/2
donc pour tout x de [o,1] on a : |f(x)|<1/2.

est ce que ca implique que : (pour tt x1 ;x2 de [0.1]) |f(x1) -f(x2)|<1/2

soient x et y dans [o,1]
si |x-y|=< 1/2 alors |fx)-f(y)| <1/2.
si |x-y|>1/2 alors l'un d'entre eux est dans [o,1/4] ou [3/4,1]
x <y par exemple,
-si x est dans [o,1/4] et y dans [3/4,1] , alors :
|f(x)|= |f(x)-f(o)|<1/4 et |f(y)|=|f(y)-f(1)|<1/4
alors |f(x)-f(y)| =<|f(x)| + |f(y)|<1/2
si x est dans [o,1/4] et y nest pas dans [3/4,1] alors y est dans [1/2,3/4]
et on a :|f(x)| <|x|=x et |f(y)|<1-y<1-(x+1/2)=1/2 -x
et on aura alors :
|fx)-f(y)| =< |f(x)| +|f(y)|< x+1/2 -x=1/2
on fait de meme si y est dans [3/4,1] et x dans [0,1/2].
alors dans tout les cas , si x et y sont dans [o,1] alors
|f(x)-f(y)|< 1/2