au voisinage des stages marocains

voici mon premier exercice:
1: touver tous les entier naturels n: 2007^n-2006^n/n est un entier.
2: soit p=-1[3] premier .suposons que 2p+1 premier. montrer que le nombre de mersenn est compose.
3:montrer qu il existe une infinite de n libre de caree : n/2007^n -1.
4:trouver tous les entiers :a^n+1=(a+1)^m.(maroc 2006).
5:soit p premier.montrer que si q/x^(p-1)+...........+1 => q=1[p].

bon courage

azbi a écrit:

voici mon premier exercice:
1: touver tous les entier naturels n: 2007^n-2006^n/n est un
bon courage

salut tt le monde et b1venu parmi nous "azbi" pour le 1 er exo voiçi ma solution.
posons : x=2007^n+2006^n
=(2006+1)^n+2006^n
=sigma[{(k.n)} /k£{0.1.2...n}]+2006^n
x=0[n] ==>sigma[{(k.n)} /k£{0.1.2...n}+2006^n=0[n]
==>(0.n)+(1.n)2006+.......+(n.n)2006^n+2006^n=0[n] *
**qq soit k£{1.2...n-1} ,n devise (k,n)
donc *==>1+2*2006^n=0[n]
==>1+2((0.n)+(1.n)2005+(2.n)2005²+......(n,n)2005^n)=0[n] ***
**qq soit k£{1.2...n-1} ,n devise (k,n)
alors *** ==>1+2+2*2005^n=0[n]
de meme on repete ce qui en haut jusqu on obtient
1+2+2...+2+2*1=0[n] (il ya 2006 "2")
1+2*2006=0[n]
==>4013=0[n]



la notation (k,n)=[n!]/[k!(n-k)!]

le problem est de trouver tous les n: n/2007^n -2006^n. no (+).
pour n/2007^n +2006^n. j ai un problem:
montrer qu il existe une infinite de n:
n a exactemant 2007 deviseur premier distincts. et n/2007^n +2006^n.

azbi a écrit:

le problem est de trouver tous les n: n/2007^n -2006^n. no (+).
pour n/2007^n +2006^n. j ai un problem:
montrer qu il existe une infinite de n:
n a exactemant 2007 deviseur premier distincts. et n/2007^n +2006^n.

pardon je crois qu si cetait (-) sa serait hyper facil n=3 lol!!

dans ton solution tu a ecrits n/(n,k) .ce qu n est pas juste si et seulement si n est premier.de plus dans cette problem s agit notament de montrer qu on a pas des entiers verifiant n/2007^n -2006^n.
voici la solution:
on va demontrer qu il nexiste pas d entiers n tel que n/(a+1)^n -a^n. avec a£N:
par l absurd supposons qu il existe n/(a+1)^n-a^n.
soit p premier tel qu il soit le plus petit diviseur de n. on p/(a+1)^n -a^n.
1: si p/a => p/a+1 absurd.
2: si non donc p;a;a+1 sont premiers entreux.=> il existe un entier b telque ab=1[n](bezout).=> [(a+1)b]^n=1[p].
et on a d apres le th de fermat [(a+1)b]^(p-1)=1[p].
maintenant soit q=ord((a+1)b)(p) ie; l ordre de (a+1)b modulo p.
donc q/p-1 et q/n absurd (car q<p-1<p et q/n) donc il n existe pas.

azbi a écrit:

dans ton solution tu a ecrits n/(n,k) .ce qu n est pas juste si et seulement si n est premier.de plus dans cette problem s agit notament de montrer qu on a pas des entiers verifiant n/2007^n -2006^n.
voici la solution:
on va demontrer qu il nexiste pas d entiers n tel que n/(a+1)^n -a^n. avec a£N:
par l absurd supposons qu il existe n/(a+1)^n-a^n.
soit p premier tel qu il soit le plus petit diviseur de n. on p/(a+1)^n -a^n.
1: si p/a => p/a+1 absurd.
2: si non donc p;a;a+1 sont premiers entreux.=> il existe un entier b telque ab=1[n](bezout).=> [(a+1)b]^n=1[p].
et on a d apres le th de fermat [(a+1)b]^(p-1)=1[p].
maintenant soit q=ord((a+1)b)(p) ie; l ordre de (a+1)b modulo p.
donc q/p-1 et q/n absurd (car q<p-1<p et q/n) donc il n existe pas.

ouiii tas raison je me suis trompé
merçi