a est dans I(a)

Bonjour
Soit A une partie fermée de [0,1]². Pour x dans [0,1] on pose
I(x)={y de [0,1] / (x,y) dans A} on suppose que I(x) est un intervalle
non vide. Montrer qu'il existe a de [0,1] tel que a est dans I(a).

AA++

Bonjour
Pour tout x de [0,1], {x}xI(x) est l'intersection des fermés A et {x}x[0,1] donc I(x) est un intervalle fermé de [0,1].
On pose I(x)=[f(x),g(x)].. Il s'agit de montrer qu'il existe a dans [0,1] tel que f(a)=<a=<g(a).
Pour cela on considère le réel a=sup{x de [0,1] / f(x)>=x}.
Si a=1 alors g(1)= f(1)=1 .
si a<1 alors grace à la compacité de A on montre que f(a)=<a=<g(a).
AA+