polynome

Montrer que
si un polynôme P de R[x] est positive alors il s'écrit comme une somme
de 2 carrés de polynômes .

Comme P est positif ses racines réelles apparaîssent à un ordre pair.

On peut donc écrire P = Q^2 R où Q est réel et R n'a que des racines complexes. Comme R n'a que des racines complexes non réelle, si on a z comme racine on a son conjugué c(z)
(X - z)(X-c(z))= X^2 - 2 re(z) X + z c(z) = (X- re(z))^2 + U où U réel positif = somme de deux carrés.
Maintenant un produit de somme de deux carrés est encore une somme de deux carrés (identité de Lagrange)

lolo

Une variation un peu moins (mais à peine) "classique" : peut-on caractériser les polynômes positifs sur [0..1]

Ceci peut se faire en montrant que ce sont ceux de la forme P²(X)+(X-X²)Q²(X) ou un truc du genre.

Utiliser l'identité de Lagrange