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 A=E

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aannoouuaarr
Maître


Masculin Nombre de messages : 154
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Localisation : meknes
Date d'inscription : 14/11/2006

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MessageSujet: A=E   A=E EmptySam 17 Mar 2007, 11:45

on considere l'ensemble E={1,2,...,p}(p est un nombre premier).
soit A un sous ensemble de E ayant au moin deux elements et verifiant les deux conditions :
- p appartient a A
- si a et b sont deux elements de A alors |a-b| appartient aussi a A
montrer que A=E
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pco
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 678
Date d'inscription : 06/06/2006

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MessageSujet: Re: A=E   A=E EmptySam 17 Mar 2007, 12:10

Bonjour,

Soit m le plus petit élément de A.
Supposons que m est différent de 1, :
Soit p = u*m + r la division euclidienne de p par m (avec, donc, r < m)
Par définition de A, p et m étant distincts et appartenant à A, p - m appartient à A.
De même, p-m et m étant distincts (p premier et m > 1) et dans A, p - 2m est dans A.
...
Donc p-u*m = r est dans A, ce qui contredit le fait que m est le plus petit élément de A (r < m puisque reste de division euclidienne, et r > 0 puisque p premier et m > 1)

Donc m = 1
Donc p-1 est dans A
Donc p-2 est dans A
...
Donc A = E.


--
Patrick
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A=E
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