trouver..

slt tt le monde
trouver un couple (a,b) d'entiers strictement positifs vérifiant les conditions:

a) le produit ab(a+b) n'est pas divisible par 7
b) (a+b)^7 -a^7 -b^7 est divisible par 7^7
justifiez votre reponse.


et merci ..

salut.
on a
(a+b)^7-a^7-b^7=(a+b)((a+b)^6-(a^6-a^5b+a^4b^2-a^3b^3+a²b^^4-ab^5+b^6))
donc après une bataille de calcule on obtient:
(a+b)^7-a^7-b^7=7ab(a+b)((a+b)²-ab)²
piusque 7 ne divise pas ab(a+b) donc 7^6 divise ((a+b)²-ab)²
on sait que a^n/b^n=>a/b
donc 7^3 divise (a+b)²-ab.
càd que (a+b)²=ab(7^3)
une petite remarque nous conduit à constater que 18 et 1 vérifie les deux conditions.