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 problème N°12 de la semaine (16/01/2006-22/01/2006 )

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samir
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samir

Nombre de messages : 1872
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problème N°12 de la semaine (16/01/2006-22/01/2006 ) Empty
MessageSujet: problème N°12 de la semaine (16/01/2006-22/01/2006 )   problème N°12 de la semaine (16/01/2006-22/01/2006 ) EmptyLun 16 Jan 2006, 07:35

le problème que j'ai choisi pour cette semaine est un problème posté au (espace arabe depuis le (6 DECEMBRE 2005) )Polynome
problème N°12 de la semaine (16/01/2006-22/01/2006 ) Problemen120gy

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وتوكل على الحي الذي لا يموت وسبح بحمده


Dernière édition par le Lun 23 Jan 2006, 14:56, édité 2 fois
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abdelbaki.attioui
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abdelbaki.attioui

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MessageSujet: Re: problème N°12 de la semaine (16/01/2006-22/01/2006 )   problème N°12 de la semaine (16/01/2006-22/01/2006 ) EmptyMar 17 Jan 2006, 08:44

Bonjour
solution postée
voici la solution de adbelbaki attioui
On pose P(x)=a_nx^n+...+a_0 avec n>=0 et les a_i positifs non tous
nuls.

Soit x>0 . On a 1=<(P(1))²=(a_n+...+a_0)².

Or (a_n+...+a_0)²= (rac(a_nx^n) rac(a_n/x^n)+...+rac(a_0)rac(a_0))²
d'où, d'aprés Cauchy-Schwarz
1=< (a_nx^n+...+a_0)(a_n/x^n+...+a_0)= P(x)P(1/x).

Comme P est à coefficients positifs on a alors pour x>0:
P(x)P(1/x)>=1 <==> P(x)>=1/P(1/x) .


AA+

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وقل ربي زد ني علما
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mt2sr
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mt2sr

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MessageSujet: Re: problème N°12 de la semaine (16/01/2006-22/01/2006 )   problème N°12 de la semaine (16/01/2006-22/01/2006 ) EmptyDim 22 Jan 2006, 09:20

Bonjour
solution postée
voici la solution de mt2sr
P(x)=a_nx^n+...+a_0

on pour tout a>0 a+1/a>=2

P(x)*P(1/x)=sum(a_i, 0<=i<=n)+sum(a_i*a_j*x^(i-j), 0<=i<j<=n)+sum(a_i*a_j*x^(i-j), 0<=j<i<=n)
=sum(a_i, 0<=i<=n)+sum(a_i*a_j*(x^(i-j)+x^(j-i)), 0<=j<i<=n)
>=sum(a_i, 0<=i<=n)+2sum(a_i*a_j), 0<=j<i<=n)
=P(1)*P(1/1)>1
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lolo
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MessageSujet: Re: problème N°12 de la semaine (16/01/2006-22/01/2006 )   problème N°12 de la semaine (16/01/2006-22/01/2006 ) EmptyDim 22 Jan 2006, 23:29

Bonjour,

Solution postée (mieux vaut tard que jamais)

voici la solution de lolo

L'hypothèse est que ( Somme a_i)^2 >= 1 (où les a_i sont les coefficients de P .
Or P(1/x)P(x) = (Somme a_i^2)+ Somme i<j a_ia_j ( U +1/U) où U= x^(i-j) et comme U+1/U >=2 l'_expression est minorée par la précédente.


lolo
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MessageSujet: Re: problème N°12 de la semaine (16/01/2006-22/01/2006 )   problème N°12 de la semaine (16/01/2006-22/01/2006 ) Empty

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