Question ouverte

Voilà, en fait, c'est une question que je me suis posé, et à laquelle je n'ai toujours pas de solutions..

Trouver toutes les fonctions f (R --> R) continues telles que :

et



Pour l'instant, à part la fonction nulle, je ne vois pas d'autres fonctions qui satisferaient ce critère...

(ps : peut-être que ce sujet serait plus à sa place dans "Analyse"?)

Merci d'avance à tous ceux qui essaieront

je propoz la fonction f(x)=x(x-2006) pour x<=0 et f(x)=0 pour x>0

f^(n) c'est la dérivation (tu as juste précisé f continue) ou la composition ?

Sinon comme n'importe quelle fonction fonction nulle sur IR+ fait l'affaire (pour les 2 problèmes), mais tu l'avais remarqué j'en suis sûr.

Bonsoir
C'est un cas particulier du théorème de Borel suivant:
Soient (an) et (bn) deux suites de réels.
Alors il existe une fonction f de IR dans IR de classe C l'infini telle que:
f^(n)(an)=bn.

Il suffit de poser an=n et bn=0 pour tout n.

AA+

Je connais un théorème de Borel (il existe f C°° tq f^{n}(0)= a_n pour toute suite a_n - grand classique) mais pas celui dont vous parlez Abdelbaki Attioui. Auriez vous une référence ?

On sait qu'une telle fonction existe (f = 0), la question est plutôt d'en trouver une non nulle, non ?

Bonsoir
Je n'ai pas de référence pour le moment. Cependant, voici des solutions non nulles. Pour a,b réels tels que 0<a<b<1, il existe une fonction f de IR dans IR de C l'infini dans le support est contenu dans [a,b].
( penser à g(x)=0 si x=<0 et g(x)=e^(-1/x) sinon. g est C infini sur IR.
Puis prendre f(x)=g((x-a)(b-x)) )

Alors f^(n)(n)=0 pour tout n de IN.
A++

Merci à vous trois!
Je ne connaissais pas le théorème de Borel, je vais me renseigner dessus

Je vais lire avec attention ce que vous avez mis. (attendez-vous à quelques questions :p)

(yep tµtµ, ce que je veux, ce sont les solutions non nulles, mais abdelbaki sait apparemment comment les trouver)

C'est pas difficile de construire de telles fonctions si on enlève l'hypothèse non nulle (ou non constante).

Tu prends une fonction f nulle sur [n-eps,n+eps] pour tout n € N et tu remplis [n+eps..n-1-eps] par n'importe quelle fonction non nulle. f est alors C° sur IR, C^°° en tout point de N et f^(k)(n) = 0.

En utilisant la super-glue C^°° (e^(-1/x²)) qui permet de recoler de manière C^°° 2 fonctions, on peut trafiquer une fonction C^°°.