égalité !

salut,
a et b deux naturels , montrer que :
PGDC[ (a+b) , PPMC(a,b) ] = PGDC(a,b)

adam a écrit:

salut,
a et b deux naturels , montrer que :
PGDC[ (a+b) , PPMC(a,b) ] = PGDC(a,b)

slt
posons pgcd(a,b)=d
alors il existe (a',b')£N tel que a=da' et b=db' et b'^a'=1 (pgcd)
et rtemarquer que ab=PPCM(a,b).PGCD(a,b) ==>ppcm(a,b)=a'b'd
alors
PGDC[ (a+b) , PPMC(a,b) ]=PGDC[ d(a'+b') , da'b' ]
=d.PGCD(a'b',a'+b')=d
* a'b' et a'+b' sont premiers entre eux ?!
posons r=pgcd(a'b',a'+b')
r/a'+b' et r*a'b' ==>r/(a'+b')a'-a'b' ==>r/a'²
de meme on a r/b'² alors r/a'²^b'² ==>r=1 (a'^b'=1 <==>a'²^b'²=1 (meme pour ^n))