f^(n)(0) dans IN qqs n

Soit f(x)=2x/(1+e^(2x)). Montrer que f^(n)(0) est dans IN qqs n dans IN.

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وقل ربي زد ني علما

Maître Nombre de messages : 81 Age : 37 Date d'inscription : 08/07/2006

Par récurrence ?

j'ai déja essayé la récurrence mais il ne m'a donné rien.ça fait longtemps que j'essaye de résourdre ce problème mais vainement.pouvez-vous monsieu Attioui nous donner une indication!

Expert sup Nombre de messages : 1595 Age : 64 Date d'inscription : 11/02/2007

BJR à Tous !!!
Une simple idée à creuser !
Pourquoi ne pas écrire , à un ordre qqque m ,le Développement de Mac-Laurin de f, puis trouver , par calcul technique , le Développement Limité de f au voisinage de 0 au même ordre m puis écrire qu'ils sont égaux ( Unicité du DL ) ; une identification des coefficients fera l'affaire !!!!
LHASSANE

on n'a pas encore étudier ce Mac-Laurin ou le developpement limité monsieur BOURBAKI.

Expert sup Nombre de messages : 1595 Age : 64 Date d'inscription : 11/02/2007

OK! Je ne savais pas que ( vraisemblablement ) ce n'est pas de votre programme !!!
Pourquoi ne pas essayer avec la reccurence et la dérivée Logarithmique
La dérivée logarithmique de f
c'est la dérivée ordinaire de Log|f(x)|
C'est donc f'/f=(1/x)-(2exp(2x)/[1+exp(2x)])
Cela sert à calculer sans doute +vite les dérivées successives de f .
A voir aussi ????!!!!
LHASSANE

Maître Nombre de messages : 81 Age : 37 Date d'inscription : 08/07/2006

Salut Bourbaki !

Je vais regarder ça ce soir !

Maître Nombre de messages : 81 Age : 37 Date d'inscription : 08/07/2006

Salut

Peut-être en passant par la formule de Leibniz et remarquer que les nombres d'Euler interviennent !

Ou alors utiliser l'analyse complexe et la formule de Cauchy ?

abdelbaki.attioui a écrit:: Soit f(x)=2x/(1+e^(2x)). Montrer que f^(n)(0) est dans IN qqs n dans IN.

posons y=2x/(1+exp(2x)) et exp(2x)=z
on a (1+z)y=2x
derivation ==> (1+z)y'+z'y=2
==> (1+z)y"+2z'y'+z"y=0
==>(1+z)y"'+3z'y"+3z"y'+yz"'=0
.. on peut remarquer que
y^[n]+(sum_{0}^{n}C_{n}^{k}{z^[k]y^[n-k])=0
$f^(n)(0) dans IN qqs n Dcde603df2989d36e368bb2fefc22cf3$
tel que z^[0]=z ,
est ce que c'est juste scratch

?

Maître Nombre de messages : 81 Age : 37 Date d'inscription : 08/07/2006

Salut

Par récurrence : soit $f^(n)(0) dans IN qqs n 81ae00dae536d425ed9f277d678f9f3c$ la proposition " $f^(n)(0) dans IN qqs n 009f91f3bb4103f1450189a96b0f8a82$ "

Supposons $f^(n)(0) dans IN qqs n Bc596adf21cf0e95679ee7e9952b076a$ vraie.

On utilise Leibniz sur :

$f^(n)(0) dans IN qqs n 2652da7d836185cdf899d05d6f3fdfca$

Donc $f^(n)(0) dans IN qqs n 66bf3a60c74820498670e1197833a8e4$

Or :
$f^(n)(0) dans IN qqs n Db2f5b9f77e3c98308bc689505661d72$ pour $f^(n)(0) dans IN qqs n 1d0fe3ad28ed27546808efeec5c626a9$

Donc : $f^(n)(0) dans IN qqs n 6b5f2231a20f49a2dae9c3890f028b66$

Et donc : $f^(n)(0) dans IN qqs n B18b841eba672159ad8073c75e07af03$

D'où le résultat car P(n-1) vraie

salut
mais est ce que f^n(0)=2-2nf^(n-1)(0)
est tjs un entier Razz

example n=2 , f²(0)=2-4f'(0)=-2

Maître Nombre de messages : 81 Age : 37 Date d'inscription : 08/07/2006

Salut

il doit y avoir une petite erreur de calcul !

» {n.sin(n) /n dans IN} est-il dense dans IR?
» dans Z²
» dans Z²
» A={ [n 2^(1/2)]/n tq n dans IN*}
» dans Z²