2 fonctions a trouver

bon voila

la fonction facile:

x*y*f(x*y)=x*f(y)+y*f(x)

et la fonction difficile

x*y*f(x+y)=x*f(y)+y*f(x)

bonne chance

Raa23 a écrit:

bon voila

la fonction facile:

x*y*f(x*y)=x*f(y)+y*f(x)

et la fonction difficile

x*y*f(x+y)=x*f(y)+y*f(x)

bonne chance

LEs FOnctions sont definit Sur R? et x,y aussi?

oui sur R
et les 2fct sont continues

Raa23 a écrit:

bon voila

la fonction facile:

x*y*f(x*y)=x*f(y)+y*f(x)

chui nouveau dans le resoud des fonction comme ça mais j'ai trouvé que la premiere fonction et Nul

si c juste j'ecris la methode..

poste ta méthode pour k'on cherche avec toi l'erreur paske c faux!!

Raa23 a écrit:

poste ta méthode pour k'on cherche avec toi l'erreur paske c faux!!

faut que je cherche un petit peut a propos des equations fonctionelles aprés ncha2lah je tape ma methode

merci en tt cas

Raa23 a écrit:

la fonction facile:
x*y*f(x*y)=x*f(y)+y*f(x)

Bonjour,

BestFriend a raison : f est nulle

Démonstration :
x = y = 1 ==> f(1) = 2 f(1) ==> f(1) = 0
y = 1 ==> xf(x) = xf(1)+f(x) = f(x) ==> (x-1)f(x) = 0 ==> f(x) = 0 si x différent de 1

Donc f = 0

--
Patrick

oui pardon
jm'etais trompé dans ma demonstration
la premiere fonction est effectivement nulle
toute mes excuse bestfriend

Raa23 a écrit:

et la fonction difficile
x*y*f(x+y)=x*f(y)+y*f(x)

Bonjour,

Je note P(x,y) la propriété xyf(x+y)=xf(y)+yf(x)
Appelons a = f(1).
P(1,1) ==> f(2)=2a
Pour x non nul : P(x,1) ==> f(x+1) = a + f(x)/x
et donc, pour x et x+1 non nuls : f(x+2) = a + f(x+1)/(x+1) = a+ a/(x+1) + f(x)/(x(x+1))

Pour x non nul : P(x,2) ==> 2xf(x+2) = xf(2) + 2f(x) = 2ax + 2f(x) ==> f(x+2) = a + f(x)/x

Et donc : a+ f(x)/x = a+ a/(x+1) + f(x)/(x(x+1))
Et donc : f(x) = a

Donc f est constante sur R-{0,-1} donc sur R par continuité. On a alors axy = a(x+y) ==> a=0

et f est encore la fonction nulle.

--
Patrick

pco a écrit:

Raa23 a écrit:

la fonction facile:
x*y*f(x*y)=x*f(y)+y*f(x)

Bonjour,

BestFriend a raison : f est nulle

Démonstration :
x = y = 1 ==> f(1) = 2 f(1) ==> f(1) = 0
y = 1 ==> xf(x) = xf(1)+f(x) = f(x) ==> (x-1)f(x) = 0 ==> f(x) = 0 si x différent de 1

Donc f = 0

--
Patrick

Merci PAtrick c la meme methode que jai fais:) ..

Raa23 a écrit:

oui pardon
jm'etais trompé dans ma demonstration
la premiere fonction est effectivement nulle
toute mes excuse bestfriend

Pas grave

c'est bien la fonction nulle
je vous propose ma soution

f(0)=0
et pour x#0 on a yf(x+y)=f(y)+y*f(x)/x
or f est continue donc lim[yf(x+y)-f(y)]=yf(y)-f(y) qd x->0
donc f(x)/x admet une limite qd x->0 qui vaut
cte=[yf(y)-f(y)]/y=f(y)(1-1/y)
on reporte et on trouve cte=0
d'ou f=0