help

est ce que quelqu'un peut m'aider a resoudre
f(x)^2+f(y)^2=f(x^2+y^2)

je n'arrive pas a montrer que la seule solution possible c'est l'identitée
d'ailleur je ne suis meme pas sur que ce soit la seule possible

Salut

Raa23 a écrit:

d'ailleur je ne suis meme pas sur que ce soit la seule possible

Ce n'est pas la seule : f(x) = |x| marche également

De même, si A est un sous-ensemble de R- et f_A(x) sa fonction caractéristique, alors (1-2f_A(x))x est solution.
Le cas |x| correspond au cas où A = R-

De même f(x)=0 ou f(x)=1/2 marchent aussi

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Patrick

donc les solutions sont en fonction des "fonctions caractéristiques d'ensembles"...?
mais komen est ce que tu montre que c les seules possibles

Bon,.

Une première approche.
P(x,y) : f(x)^2 + f(y)^2 = f(x^2 + y^2)

1) Pour x >=0, P(racine(x),0) ==> f(x) >=0 pour x >=0
2) en comparant P(x,y) et P(-x,y), on a clairement f(-x) = +/- f(x)

On peut donc déterminer f sur R+ (f nécessairement positive) et choisir ensuite sur R-* f de façon arbitraire en appliquant f(-x) = +/- f(x).

========== déterminons donc f sur R+ ===============
P(x,x) ==> 2f(x)^2 = f(2x^2) ==> f(x)^2 = f(2x^2)/2
En reportant cela dans P(x,y), il vient :
f(2x^2)/2 + f(2y^2/2) = f(x^2 + y^2)

Ou encore : f((x+y)/2) = (f(x)+f(y))/2 pour tout x, y de R+

Là, on a un problème : cette équation très classique, nous donne obligatoirement f(x)=ax+b si on suppose f continue. Si on n'a pas l'exigence de continuité et si on accepte l'axiome du choix, on a d'autres solutions (ce qui ne veut pas dire qu'on aura d'autres solutions pour léquation initiale; il n'y a pas équivalence).

Restreignons-nous donc aux solutions continues : on a f(x) = ax+b sur R+. En reportant dans l'équation initiale, il vient :
(ax+b)^2 + (ay+b)^2 = a(x^2 + y^2) + b
(a^2-a)(x^2+y^2) + 2ab(x+y) + 2b^2-b = 0

Il est aisé d'en déduire a^2=a, ab=0 et 2b^2=b et donc les solutions :
f(x) = 0
f(x) = 1/2
f(x) = x

Et donc les solutions continues sur R :
f(x) = 0
f(x) = 1/2
f(x) = x
f(x) = |x|

Sur les solutions discontinues, il faut encore creuser :
on a évidemment les solutions continues sur R+* et non nécessairement continues sur R- :
f(x) = (1-2f_A(x))/2
f(x) = (1-2f_A(x)) x
avec f_A(x) fonction caractéristique de tout sous-ensemble de R-*

Quant aux solutions discontinues sur R+* (avec axiome du choix), je ne sais pas et cherche encore.

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Patrick

Hello !

Complément !

f >= 0 sur R+ et f((x+y)/2) = (f(x)+f(y))/2 implique f nécessairement continue sur R+* et de la forme ax+b.

En effet les solutions discontinues de f((x+y)/2) = (f(x)+f(y))/2 sont nécessairement ni majorées ni minorées sur quelque intervalle fermé de R+* que ce soit.

On a donc bien toutes les solutions.

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Patrick