séries de fonctions

Sujet: séries de fonctions Ven 27 Jan 2006, 09:40

Bonjour
Soit f_n(x)=(-1)^nx^n/(1+x+..+x^(n-1)) pour dans I=[0,1]
1) Montrer que la série de terme général f_n est uniformémént convergence dans I.
2) Soit g(x) la série de terme général x^n/(1+x^n) pour |x|<1.
Montrer que g(x) est équivalent à ln(2)/(1-x) au voisinage de 1-
AA++

Sujet: Re: séries de fonctions Lun 30 Jan 2006, 20:57

Bonsoir
1) pour x dans [0,1] on a |f_n(x)|=<1/n pour tout n>0.
La série \sum f_n est une série altérnée et |f_n(x)| est une suite décroissante tendant vers 0. donc la série converge simplement dans [0,1]. Mais on a pour tout n le reste |R_n(x)|=<|f_(n+1)|=<1/(n+1). Donc la série converge uniformément dans [0,1].

AA++

Sujet: Re: séries de fonctions Lun 30 Jan 2006, 21:04

Bonsoir

2) On a g(x)=\sum x^n/(1+x^n) = \sum (-x)^n/(1-x^n) pour le voir considérer une suite sommable double.

On sait que ln(2)=-\sum (-1)^(n-1)/n =f(1) où f=\sum f_n sur [0,1]
(voir 1)
(1-x)g(x)=\sum (-x)^n/(1+x..+x^(n-1)) =f(x) d'où le résultat

AA+