f=F0F

salut
soit f une application definie de N dans N par
-qq soit n de N f(n)=n²
montrer l'existence d'une application F de N dans N tel que f=F°F

Bonjour SelfRespect

En constatant que si F(a)=b, alors F(b) = a^2, F(a^2) = b^2, ..., je propose la démonstration suivante :

Pour un entier n > 1, j'appelle g(n) le plus petit entier m > 1 pour lequel il existe i entier >=0 tel que n = m^(2^i). Je note alors h(n) l'entier i.

Soit A l'ensemble des entiers naturels > 1 tels que g(n) = n (et donc h(n) = 0). Cet ensemble est évidemment infini (il contient au moins les entiers non carrés parfaits). Soient alors A1 et A2 deux sous-ensembles infinis disjoints dont l'union fait A et soit k une bijection de A1 dans A2 (qui existe puisque A1 et A2 sont infinis dénombrables).

Soit alors F définie ainsi :
F(0) = 0
F(1) = 1
Pour tout n > 1, g(n) est évidemment dans A, donc dans A1 ou dans A2. Alors :
Pour tout n > 1 tel que g(n) est dans A1 : F(n) = (k(g(n)))^(2^h(n))
Pour tout n > 1 tel que g(n) est dans A2 : F(n) = (k^[-1](g(n)))^(2^(h(n)+1)) où k^[-1] est la réciproque de k

F répond à la question.

En déterminant une infinité de fonction F (ce que tu ne demandes pas), je montre de fait l'existence d'au moins une telle fonction F (ce que tu demandes)

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Patrick

soit h une application de N->N tel que,
h(2^{m}.(4k+1))=2^{m}.(4k+3)
h(2^{m}(4k+3))=2^{m+1}(4k+1)
donc h est bien definie

soit n dans N
*si n s'ecris sous la forme 2^{m}.(4k+1))
hoh(n)=hoh(2^{m}.(4k+1))=h(2^{m}.(4k+3))=2^{m+1}(4k+1)=2n
*si n s'ecris sous la forme 2^{m}.(4k+3)
hoh(n)=hoh(2^{m}.(4k+3))=h(2^{m+1}.(4k+1))=2^{m+1}(4k+3)=2n

donc hoh(n)=2n

on prend mtn l'application F de N->N tel que
F(produit de i=1 jusqu'a i=s de pi^{a_i})=produit de i=1 jusqu'a i=s de pi^{h(a_i)}, les pi sont des premiers # deux à deux

donc on a si n=produit de i=1 jusqu'a i=s de pi^{a_i}
FoF(n)=produit de i=1 jusqu'a i=s de pi^{hoh(a_i)}=produit de i=1 jusqu'a i=s de pi^{2a_i})=n²

Salut Pilot_aziz

Ta proposition de fonction F me paraît parfaitement correcte.

Bravo!

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Patrick