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 problème N°77 de la semaine (16/04/2007-22/04/2007)

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samir
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MessageSujet: problème N°77 de la semaine (16/04/2007-22/04/2007)   Lun 16 Avr 2007, 22:01


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وتوكل على الحي الذي لا يموت وسبح بحمده


Dernière édition par le Mar 17 Avr 2007, 12:29, édité 1 fois
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samir
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MessageSujet: Re: problème N°77 de la semaine (16/04/2007-22/04/2007)   Lun 16 Avr 2007, 22:04

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

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pco
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MessageSujet: Re: problème N°77 de la semaine (16/04/2007-22/04/2007)   Mar 17 Avr 2007, 16:20

Bonjour,

Solution postée.
voici la solution de pco

Bonjour,

Notation :
========
Je note s(x) la somme des chiffres de x, pour x dans N.

Lemme :
=====
Soit M un entier non divisible par 10 et inférieur strictement à 10^n,
alors
S(M*(10^n - 1)) = 9n
Démonstration :
C'est immédiat en posant la soustraction M*10^n - M :
- La somme des n chiffres de droite du résultat vaut 9n+1-S(M)
(attention
: ceci est vrai car M ne se termine pas par 0)
- la somme des chiffres de gauche du résultat (au-delà des n chiffres
de
droite) vaut S(M) - 1. le -1 est dû à la retenue et se comprend
parceque
cette retenue s'impute sur le chiffre des unités de M (car M est non
divisible par 10).
La somme des chiffres du résultat est donc S(M)-1 + 9n+1-S(M), soit 9n.
CQFD

Application au problème posé :
============================
Posons M = 9 * 99 * ... * (10^(2^(n-1))-1)
On a A = M * (10^(2^n) - 1)

Il est clair que M, produit de nombres impairs, n'est pas divisible par
10.
Par ailleurs, on a M < 10*100*10000* .. * 10^(2^(n-1)) =
10^(1+2+4+8+...+2^(n-1)) = 10^(2^n - 1) < 10^(2^n)

On est donc dans les critères d'application du lemme et donc S(A) =
S(M*(10^(2^n)-1)) = 9*2^n

La somme des chiffres de A est donc 9*2^n

--
Patrick

--
Patrick
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khamaths
Maître


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Date d'inscription : 17/03/2006

MessageSujet: Re: problème N°77 de la semaine (16/04/2007-22/04/2007)   Sam 21 Avr 2007, 10:17

Bonjour
Solution postée.
voici la solution de khamaths
Bonjour Samir

notons : A_n = 9*99*9999*.........*99999....9999 = 9^n * 11*1111*......*11111...1111 (2^n fois)

Soit B la somme des chiffres de A . (B # 0)

(*)On a: A_n <10^[(2^(n+1)-1)]

======> B <= 9*2^(n+1)-1

(*) Or A_n congru B [9] ==> 9 / B ====> B= 9b

====> b <= 2^(n+1)-1

(*) On a aussi : 2^n / B ====> b = 2^n * b' ====> b < 2^(n+1) ( b est pair)
====> 2^n * b' < 2^(n+1)
====> b' < 2 ===> b ' = 1

Conclusion : B = 9*2^n

sauf erreur..
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radouane_BNE
Modérateur
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Masculin Nombre de messages : 1488
Localisation : Montréal
Date d'inscription : 11/01/2006

MessageSujet: Re: problème N°77 de la semaine (16/04/2007-22/04/2007)   Sam 21 Avr 2007, 13:13

salut tout le monde.
solution postée

voici la solution de boukharfane
montrons par reccurence que
la somme des chiffres de A est égale S(2n)=9* 2n
pour n=1;2;3;4 le résultat est vérifié.
nous pouvons supposer sans perdre la généralité du problème que:A(2n):9*9...*9 2n fois.
alors 9*99*9999.....*9(2n fois)*9(4nfois)=A(2n)*(10^(4n)-1)=A(2n)*10^(4n)-A(2n).
en faisons la soustractions il s'avère que S(4n)=9*4n.
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digital_brain
Maître
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MessageSujet: Re: problème N°77 de la semaine (16/04/2007-22/04/2007)   Sam 21 Avr 2007, 14:11

salut
solution postée
voici la solution de digital_brain

A=9*99*999*................*99999...999
=(10-1)(100-1)(1000-1).....(10^2n -1)
=10^((2n*2n+1)/2)+k

tel ke la somme de chiffres de K est < ((2n*2n+1)/2)

donc la somme de chiffres de A est ((2n*2n+1)/2
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Raa23
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MessageSujet: Re: problème N°77 de la semaine (16/04/2007-22/04/2007)   Sam 21 Avr 2007, 23:45

Solution postée
voici la solution de raa23
9^(2^0)*9^(2^1)*..*9^(2^n)

=

9^(som 2^i , i=0..n)

=

9^(2^n-1)
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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: problème N°77 de la semaine (16/04/2007-22/04/2007)   Dim 22 Avr 2007, 10:36

Bonjour
solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attioui
Bonjour,
On pose A(0)=9 et pour tout n>0, A(n)=A(n-1)x99...99 où le 9 figure 2^n fois.
Comme A(n) <10x10^2x10^4x...x10^(2^n)=10^(2^(n+1)-1),
alors A(n)=a(0,n)+10a(1,n)+...+10^(2^(n+1)-1)a(2^(n+1)-1,n) écriture décimale.
==> A(n)=(10^(2^n)-1)A(n-1)=10^(2^n)A(n-1)-A(n-1)
Mais l'écriture décimale de 10^(2^n)A(n-1) est A(n-1)0...0 ( avec 0 figure 2^(n) fois)
Lorsqu'on retranche A(n-1) on obtient alors:
a(0,n)+a(0,n-1)=10
a(i,n)+a(i,n-1)=9 pour 1=<i=<2^n-1
a(2^n,n)+1=a(0,n-1)
a(i,n)=a(i-2^n,n-1) pour 2^n+1=<i=<2^(n+1)-1
Donc la somme des chiffres de A(n) est :
(10-a(0,n-1))+(somme de i=1 à 2^n-1) (9-a(i,n))+(a(0,n-1)-1)+(somme de i=2^n+1 à 2^(n+1)-1)a(i-2^n,n-1)=9.2^n
A+

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MessageSujet: Re: problème N°77 de la semaine (16/04/2007-22/04/2007)   

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