fof=..

salut
determiner les fcts derivables sur R et definit par :
fof(x)=x/2+3 pour tt x de R

Bonjour,

Je crois que celui-ci a déjà été posé.

Soit f(a) = b
Il est aisé d'en déduire :
f^[2n](a) = a/2^n + 6(1 - 1/2^n)
f^[2n+1](a) = b/2^n + 6(1 - 1/2^n)

Et donc :
f(a/2^n + 6(1 - 1/2^n)) = b/2^n + 6(1 - 1/2^n)
et
f(b/2^n + 6(1 - 1/2^n)) = a/2^(n+1) + 6(1 - 1/2^(n+1))

Par continuité et en faisant tendre n vers l'infini, il vient f(6) = 6
Puis :

(f(a/2^n + 6(1 - 1/2^n)) - f(6))/(a/2^n + 6(1 - 1/2^n - 6) = (b/2^n + 6(1 - 1/2^n) - 6) /(a/2^n + 6(1 - 1/2^n - 6) = (b - 6) /(a - 6)
Et :
(f(b/2^n + 6(1 - 1/2^n)) -f(6))/((b/2^n + 6(1 - 1/2^n)) - 6) = (a/2^(n+1) + 6(1 - 1/2^(n+1)) - 6 )/((b/2^n + 6(1 - 1/2^n)) - 6) = (a - 6)/((2b - 12))

La dérivabilité en (6,6) implique donc (b - 6) /(a - 6) = (a - 6)/((2b - 12)), soit 2(b-6)^2 = (a-6)^2, soit b-6 = +/- (a-6)/racine(2)

Soient deux solutions possibles :
f(x) = x/racine(2) + 6 - 6/racine(2)
f(x) = -x/racine(2) + 6 + 6/racine(2)

et on vérifie que ces conditions nécessaires sont suffisantes


A noter qu'en supprimant l'exigence de dérivabilité, on crée une infinité de solutions.

--
Patrick

juste je vais donner des indication pour t'aider (c'est facile de montrer que f(x/2+3)=f(x)/2+3 ) puis deduite que f' est constant , enfin define U{n+1}=U{n}/2+3 avec U0=x (si la suite converge ==> f(l)=l=6 ==>Un=6+(x-6)/2^n or f'(x)=f'(U0)=f'(Un)=6 => ...

Bonjour Sinchy,

Sinchy a écrit:

juste je vais donner des indication pour t'aider

Sympa, mais attention aux fausses directions.

Sinchy a écrit:

c'est facile de montrer que f(x/2+3)=f(x)/2+3 )

OK

Sinchy a écrit:

puis deduite que f' est constant

Non.
On a tout de suite f'(x/2 + 3) = f'(x) mais en déduire la constance de f(x) nécessite de montrer la convergence de la suite u_n que tu proposes de n'introduire qu'après. (+ utiliser la continuité de la dérivée).
La constance de f' est juste mais pas immédiate.

Sinchy a écrit:

Un=6+(x-6)/2^n or f'(x)=f'(U0)=f'(Un)=6 => ...

Je pense que "f'(x)=f'(U0)=f'(Un)=6" est faux.


En fait, si tu proposes de passer d'abord par la constance de f', la suite est beaucoup plus simple que ce que tu donnes :
f' = cste ==> f(x) = ax+b ==> f(f(x))=a^2 x + ab + b ==> a^2 = +/- 1/racine(2) et b = 3/(a+1)

==>
f(x) = x/racine(2) + 6 - 6/racine(2)
f(x) = -x/racine(2) + 6 + 6/racine(2)

--
Patrick

c'estait slment une faute de placer mes iddes , j'ai relie le message c'etait tout a fait juste , merci