Inégalité (tc)

démontrer que pour chaque a,b,c>0
(a+b+c)^3 >=27abc

utilisez les méthodes de niveau tcs (pas d'inégalité ed la moyenne )

codex00 a écrit:

démontrer que pour chaque a,b,c>0
(a+b+c)^3 >=27abc

utilisez les méthodes de niveau tcs (pas d'inégalité ed la moyenne )

7ggar

Mahdi a écrit:

codex00 a écrit:

démontrer que pour chaque a,b,c>0
(a+b+c)^3 >=27abc

utilisez les méthodes de niveau tcs (pas d'inégalité ed la moyenne )

7ggar

ben en 2 lignes avec la moyenne c po réglo

g fait une démo trop longue (nivo tc), j'espère trouver une autre plus courte

j pense kon va deplacé 27abc d l otr cote et on fé le calcul

slt

ben jé trouvé une jolie méthode sans utiliser l'inégalité de la moyenne, j'espere ke c juste
remarquons que

(a+b+c)^3= a^3+b^3+c^3+ 3( a²b+a²c+b²c+ab²+ac²+bc²)+6abc (*)

sachant que pour chque reels x et y x+y>=2xy

a²b+bc²>=2rac(a²b)*rac(bc²)= 2abc
a²c+b²c>=2rac(a²c)*rac(b²c)= 2abc
ab²+ac²>= 2rac(ab²)*rac(ac²)= 2abc

alors 3(a²b+a²c+b²c+ab²+ac²+bc²)>= 18 abc

donc 3(a²b+a²c+b²c+ab²+ac²+bc²)+6abc>= 24abc (**)

remarquons alors que a^3+b^3+c^3-3abc= 1/2 * (a+b+c) * [( a-b)²+(b-c)²+(c-a)²] >= 0 puisque (a,b,c)>=0

d'ou a^3+b^3+c^3>= 3abc (***)

en déduisant de (*) et (**) et (***)

on trouve a^3+b^3+c^3+ 3( a²b+a²c+b²c+ab²+ac²+bc²)+6abc >= 27abc

donc (a+b+c)^3>= 27abc

Ps: l'examen est proche d3iw m3aya

neutrino a écrit:

Ps: l'examen est proche d3iw m3aya

ne tkt pas l'examain est tés facile je te souhaite des trés bonne Note incha2lah;)

BeStFrIeNd a écrit:

neutrino a écrit:

Ps: l'examen est proche d3iw m3aya

ne tkt pas l'examain est tés facile je te souhaite des trés bonne Note incha2lah;)

Oui bonne chance, po besoin de s'inquièter ca ira comme sur des roulettes

Oui bonne chance

merci pr vous tous , mais je vois que vous n'avez rien dis a propos de ma démonstration

neutrino a écrit:

merci pr vous tous , mais je vois que vous n'avez rien dis a propos de ma démonstration

Elle est juste sauf qu'il y a une plus courte

codex00 a écrit:

neutrino a écrit:

merci pr vous tous , mais je vois que vous n'avez rien dis a propos de ma démonstration

Elle est juste sauf qu'il y a une plus courte

ben , en toute façon ma méthode est celle d'un modeste collègien

neutrino a écrit:

codex00 a écrit:

neutrino a écrit:

merci pr vous tous , mais je vois que vous n'avez rien dis a propos de ma démonstration

Elle est juste sauf qu'il y a une plus courte

ben , en toute façon ma méthode est celle d'un modeste collègien

Il en a une autre pour un modeste collégien

Bonjour codex !
Si tu veux une méthode plus courte, ajoute que abc =1

relena a écrit:

Bonjour codex !
Si tu veux une méthode plus courte, ajoute que abc =1

(a+b+c)^2>=3ab+3ac+3bc
(a+b+c)^3>=3(a+b+c)(ab+ac+bc)
On développe la partie rouge
Puis on procéde comme ca
a²+b²>=2ab
a²c+b²c>=2abc
(a+b+c)(ab+ac+bc)>=9abc
mnt c'est plus court:)

Bonne chance neutrino

codex00 a écrit:

relena a écrit:

Bonjour codex !
Si tu veux une méthode plus courte, ajoute que abc =1

(a+b+c)^2>=3ab+3ac+3bc
(a+b+c)^3>=3(a+b+c)(ab+ac+bc)
On développe la partie rouge
Puis on procéde comme ca
a²+b²>=2ab
a²c+b²c>=2abc
(a+b+c)(ab+ac+bc)>=9abc
mnt c'est plus court:)

selon C-S :(c+b+a)(ab+ac+bc) >=( rac(abc)+rac(abc)+rac(abc))²
donc : (c+b+a)(ab+ac+bc) >= 9abc

Conan a écrit:

codex00 a écrit:

relena a écrit:

Bonjour codex !
Si tu veux une méthode plus courte, ajoute que abc =1

(a+b+c)^2>=3ab+3ac+3bc
(a+b+c)^3>=3(a+b+c)(ab+ac+bc)
On développe la partie rouge
Puis on procéde comme ca
a²+b²>=2ab
a²c+b²c>=2abc
(a+b+c)(ab+ac+bc)>=9abc
mnt c'est plus court:)

selon C-S :(c+b+a)(ab+ac+bc) >=( rac(abc)+rac(abc)+rac(abc))²
donc : (c+b+a)(ab+ac+bc) >= 9abc

Si tu te permet d'utliser cauchy-schwarz alors utilise IAG dès le début
D'après IAG
a+b+c>=3(abc)^1/3
(a+b+c)^3>=27abc

jai pour vous une demonstration wa3ra prenez un dolipranne avant
on devellope (a+b+c)°3-27abc
on obtient
a°3+b°3+C°3+3c(a°2+b°2)+3b(a°2+c°2)+3a(b°2+c°2)-21abc
on a a°2+b°2>2ab
donc
c(a°2+b°2)>2abc
on fait la meme chose pour les deux autres on obtient
c(a°2+b°2)+b(a°2+c°2)+a(b°2+c°2>6ABC
DONC
3c(a°2+b°2)+3b(a°2+c°2)+3a(b°2+c°2)>18abc
on a ausi
a°3+b°3=(a+b)(a°2+b°2-ab)
on obtient donc
a°3+b°3>ab(a+b)
la meme methode pour les autres on obtient
a°3+b°3+C°3>1/2(((c(a°2+b°2)+b(a°2+c°2)+a(b°2+c°2)))
on a deja demontré que
c(a°2+b°2)+b(a°2+c°2)+a(b°2+c°2)>6abc
donc
a°3+b°3+C°3>3abc
donc
a°3+b°3+C°3+3c(a°2+b°2)+3b(a°2+c°2)+3a(b°2+c°2)>21abc
donc
a°3+b°3+C°3+3c(a°2+b°2)+3b(a°2+c°2)+3a(b°2+c°2)-21abc>0
donc
(a+b+c)°3-27abc>0
on deduit

(a+b+c)°3>27abc
enfin jai terminé

otman4u a écrit:

https://mathsmaroc.jeun.fr/Lycee-c1/Premiere-f5/facile-t3552.htm

Doliprane

lol!!!!!