mathman
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 | | Sujet: Double inéquation fonctionnelle. Dim 22 Avr 2007, 21:35 | |
| Trouver toutes les fonctions f, continues sur toute la droite réelle, telles que pour tout réel x,
f(3x-2) <= f(x) <= f(2x-1). | |
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pco
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| | Sujet: Re: Double inéquation fonctionnelle. Lun 23 Avr 2007, 06:36 | |
| Salut Mathman, - mathman a écrit:
- Trouver toutes les fonctions f, continues sur toute la droite réelle, telles que pour tout réel x,
f(3x-2) <= f(x) <= f(2x-1). 1) f(x) <= f(2x-1) ==> f(x+1) <= f(2x+1) ==> f(x+1) >= f(x/2 +1) ==> f(x+1) >= f((x/2^n) + 1) En faisant tendre n vers +oo et par continuité en 1, on a donc f(x+1) >= f(1) 2) f(x) >= f(3x-2) ==> f(x+1) >= f(3x+1) ==> f(x+1) <= f(x/3 +1) ==> f(x+1) <= f((x/3^n) + 1) En faisant tendre n vers +oo et par continuité en 1, on a donc f(x+1) <= f(1) Donc f(x+1) = f(1) Donc f est constante Et on vérifie aisément que cette condition nécessaire est bien suffisante. -- Patrick | |
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