arithm

salut

Soient a un entier naturel > 1 et f(x) la fonction définie sur les nombres réels positifs R+ telle que :

• f(x) = x – a pour tout x >
  
• f(x) = f(f(x+a+1)) pour tout x
  

On constate que pour une certaine valeur de a et une valeur entière de x , f(x) est le cube d’un entier naturel b > 0. Peut-on en déduire un exemple du couple (a,b) ?

Bonjour,

1) montrons que pour tout n de [1, a^2], f(n)=a^2 - a + 1
1.1) f(a^2) = f(f(a^2+a+1)) = f(a^2+1) = a^2 - a + 1
1.2) Pour n dans [a^2 - a + 1, a^2], on peut le montrer par récurrence :
f(a^2) = a^2 - a + 1 (voir 1.1)
Si f(n) = a^2 - a + 1 pour n dans [k+1, a^2], avec a^2 > k > a^2 - a, alors :
f(k) = f(f(k + a +1)) mais k+a+1 > a^2 + 1 ==> f(k + a +1) = k + 1 ==> f(k) = f(k+1) = a^2 - a + 1 par récurrence
1.3) Pour n dans [1, a^2 - a], on peut aussi le montrer par récurrence :
f(a^2 - a) = f(f(a^2 + 1)) = f(a^2 - a + 1) = a^2 - a + 1
Si f(n) = a^2 - a + 1 pour n dans [k+1, a^2], avec a^2 - a > k > 0, alors :
f(k) = f(f(k + a + 1)) mais a^2 >= k+a+1 > k et donc f(k + a + 1) = a^2 - a + 1 par récurrence
==> f(k) = f(a^2 - a + 1) = a^2 - a + 1 d'après 1.2

2) il reste donc à trouver a et b tels que a^2 - a + 1 = b^3
Il est facile de voir que a doit être congru à 1 modulo 9 et b congru à 1 modulo 6.
On essaie rapidement a = 10, 19, 28, ... et on tombe dès le deuxième essai sur a = 19 et b = 7

La question ne demande pas la recherche de tous les couples (a,b) mais d'un exemple.

Le raisonement suffit pour donner (a=19, b=7)

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Patrick