problème N°78 de la semaine (23/04/2007-29/04/2007)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Envoyée
voici la solution de rockabdel
Salut samir ,


X²+y²+z²+t²-xy-xz-xt=0 <==> (1/2x-y)²+(1/2x-z)²+(1/2x-t)²+1/4x²=0

A+b+c+d=0 et a, b, c et d supérieurs a 0 <==> a=0 et b=0 et c=0 et d=0

D’où S={(0,0,0,0)}

Salut :
Solution postée
voici la solution de coucou
Salut :

l'équation vaut à : (x/2-y)² +(x/2-z)²+(x/2-t)²+ x²/4 =0

x=0 ; y=0 ; z=0 ; t=0

solutions postèe
voici la solution de saiif3301
voila ma solution
x²+y²+z²+t²-xy-xz-xt=(1/2*x-y)²+(1/2*x-t)²+(1/2*x-z)²+1/4*x²=0 donc
x²=0 et
x=2y et x=2z et x=2t donc la seul solution sè x=y=z=t=0 de
saiif3301

solution postéé
voici la solution d'imane
x²+y²+z²+t²-xy-xz-xt =0
x²=1/4x²+1/4x²+1/4x²+1/4x²
1/4x²-xy+y²+1/4x²-xz+y²+1/4x²-xz+z²+1/4x²-xt+t²
=1/(2x-y)²+1/(2x-z)²+(1/2x-t)²+1/4x²
et puiske un nombre caré >ou egale 0 donc 1/(2xy)²=0
et c o6 pr les otres carrés et puisque
1/(2x-y)²+1/(2x-z)²+(1/2x-t)²=0
donc 1/4x²=0
résultat:
1/(2x-y)²+1/(2x-z)²+(1/2x-t)²+1/4x²=x²+y²+z²+t²-xy-xz-xt=0
x²+y²+z²+t²-xy-xz-xt=0
jéspère ke c correcte ,

merci à stof065 .

Bonjour ;
Solution postée
voici la solution d'elhor

Bonjour
solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attioui
Bonjour, même chose que
a²+b²+c²+d²+e²=>a(b+c+d+e)

x²+y²+z²+t²-xy-xz-xt=0
<==>(y-x/2)²+(z-x/2)²+(t-x/2)²+x²/4=0
<==>x=y=z=t=0
A+

solution postée
voici la solution d'anouar
x=0 <==> y²+z²+t²=0 <=> x=y=z=t=0
si x#0 alors x²/3+y²>x²/4+y²>=xy de la meme facon x²/3+z²>xz et
x²/3+t²>xy
en sommant==> x²+y²+z²+t²>xy+xz+xt cad l'equation n a pas de solution
pr x#0
S={(0,0,0,0)}

solution postée
voici la solution de stof
on a
x²+y²+z²+t²-xy-xz-xt=0
((1/2)x-y)²+ ((1/2)x-z)²+ ((1/2)x-t)²+1/4x²=0
On a ((1/2)x-y)²+ ((1/2)x-z)²+ ((1/2)x-t)²+1/4x²>=0
Cela implique que
((½)x-y)²=0 et ((1/2)x-z)²=0et((½)x-y)²=0et 1/4x²=0

(½)x-y=0 et (1/2)x-z=0et(½)x-y=0et x=0
De cela on déduit que les seuls nombres qui réalisent cette relation
Et x=y=z=t=0
Stof065
A+

solution postée

voici la reponse de kira
On a x²+y²+z²+t²-xy-xz-xt=0 equiv.à
1/4x²-xy+y²+1/4x²-xz+z²+1/4x²-xt+t²+1/4x²=0
Equiv.à (1/2x+y)²+(1/2x+z)²+(1/2x+t)²+1/4x²=0

Equiv.à x=0 et y=0 et z=0 et t=0



D’où les valeurs sont : x=0 et y=0 et z=0 et t=0


r.kira (reda bouchry)

salut tout le monde.
soution postée
solution non trouvée parmis mes mails (administration)
(N'oublies pas d'ecrire ton nom d'utilisateur dans la réponse envoyée)

Bonjour

Solution postée
voici la solution de khamaths
Bonjour Samir


on a: x² + y² + z² + t² = x ( y + z + t ) (1)

D'après l'inégalitée de Cauchy-schwarz on a:

(x + y + z + t )² <= 4 ( x² + y² + z ²+ t ²)
<===> (x + y + z + t )² <= 4x (y +z + t) (d'après (1))
<===>[x - (y + z + t) ]² <= 0
<===>x = y + z + t
(1) <==> y² + z² + t² = 0
<===> y = z = t = 0

conclusion: la seule solution est (0;0;0;0)

Bonjour Mr SAMIR !!!
Solution au Pb 78 postée ce jour.
voici la solution de BOURBAKI

L’équation que vous proposez cette semaine est du type :
F(x,y,z,t) = 0
Avec F(x,y,z,t) = x^2+y^2+z^2+t^2-xy-xz-xt dont l’ensemble des solutions dans IR sera noté S .
La forme quadratique F est décomposable en somme de 4 carrés comme suit :
F(x,y,z,t) = [y-(x/2)]^2 + [z-(x/2)]^2 + [t-(x/2)]^2 + [(x/2)]^2
Par suite, la relation F(x,y,z,t) = 0 exige la nullité de chacun de ces 4 carrés et partant ,
on devrait avoir y = z = t = x/2 puis x = 0
En conclusion, on a une seule solution et S = {(0,0,0,0)}
UNE AUTRE SOLUTION : on pourrait aussi essayer d’exprimer explicitement x en fonction de y,z et t .
On sera amené à étudier un trinôme du second degré en x à coefficients dépendants de y, z et t
x^2+B.x+C=0
avec B= - (y+z+t) et C = y^2+z^2+t^2
Le discriminant de ce trinôme est Delta = 2.[yz+yt+zt] – 3.[ y^2+z^2+t^2] utilisant l’inégalité classique
2.a.b <=[a^2+b^2] pour tout a, b dans IR alors il en résulte que
Delta <= - [y^2+z^2+t^2] <=0
On s’interesse aux solutions réelles donc Delta >=0 et de là Delta =0 ceci exige
y = z = t = 0 et x = 0 et on retrouve la conclusion de la méthode précédente.

Bonjour!

Solution postée.
voici la solution de Kendor
On a x²+y²+z²+t²-xy-xz-xt=0
Donc x²+(y-x/2)²-x²/4+(z-x/2)²- x²/4+(t-x/2)²- x²/4=0
Donc x²/4+(y-x/2)²+(z-x/2)²+(t-x/2)²=0
D’où x/2=y=z=t et x=0
Donc x=y=z=t=0.

A+
Ciao!

Kendor.

Salut
solution postée
voici la réponse de codex
x²+y²+z²+t²-xy-xz-xt=0
<=>4x²+4y²+4z²+4t²-4xz-4xt-4xy=0
<=>(x²-4xy+4y²)+(x²-4xz+4z²)+(x²-4xt+4t²)+x²=0
<=>(x-2y)²+(x-2z)²+(x-2t)²+x²=0
donc x=0 y=0 z=0 t=0

salut Mr Samir
solution postée

voici la solution de conana



On : (x² +y²) + (x²+z²)+(t² + x²) ≥ xy + xz +xt



Donc : 2x² + (x² +y² +z² +t² - xy - xz – xt ) ≥ 0



Alors : 2x² ≥ 0



Càd l'equation [x² +y² +z² +t² - xy - xz – xt = 0 ] est vrai pour tous x,y,z,t de R !!!