MQ ker(p)=ker(q)

soient p et q deux projecteurs de E, K ev
montrer que
ker(p)=ker(q) <=> p=poq et q=qop

assez classique est facile

Bonsoir,
Supposons Ker(q)=Ker(p)
p(I-q)(x)=p(x-q(x))= 0 car q(x-q(x))=0 i.e x-q(x) dans Ker(q)=Ker(p).
de même q(I-p)=0.

Inversement, Si p(x)=0, alors q(x)=q(p(x))=0 donc Ker(p) contenu dans Ker(q) . Même chose pour l'autre inclusion .

AA+