AnB et AUB connexes

Soient A et B deux ouverts d'un espace E, tels que AnB et AUB soient connexes par arcs. Montrer que A et B sont connexes par arcs. Montrer le même résultat en remplaçant "connexe par arcs" par "connexe".

C'est dans un espace métrique, non?
Enfin, j'espère, parce que j'ai toujours travaillé qu'avec des espaces métriques, donc sinon je demande des définitions....

Bon, je l'ai fait pour des espaces métriques.
Dans ce cas, pour des ouverts, connexité=connexité par arcs, donc on peut se limiter à étudier la connexité. Supposons que A n'est pas connexe. Alors on l'écrit U_1, U_2 (ce qui signifie union disjointe) avec des ouverts non vides U_1, U_2. Je vais écrire f(X,Y) l'intersection de X,Y et g la fonction union. On a alors que g(f(B,U_1), f(B,U_2)) connexe et f(B,U_1), f(B,U_2) des ouverts qui le partitionne et qui sont disjoints. Donc un est vide, supposons f(B,U_1). Or, g(g(B,U_2), U_1) donne encore une partition avec des ouverts disjoints, donc un est vide. Cela est impossible, car ni U_1 ni U_2 n'est vide.