difficile inégalité

Je vous donne des indications:
posez x = a + b , y = b + c et z = c + a
puis p = x + y + z;

x , y et z sont alors les cotés d'un triangle. p est son périmetre.
l'égalité devra avoir lieu pour un triangle equilateral... ( je n'ai fait aucun calcul...)

bon courage,

ahmadoustra a écrit:

Je vous donne des indications:
posez x = a + b , y = b + c et z = c + a
puis p = x + y + z;

x , y et z sont alors les cotés d'un triangle. p est son périmetre.
l'égalité devra avoir lieu pour un triangle equilateral... ( je n'ai fait aucun calcul...)

bon courage,

b1 vu
voila une autre methode !!
supposant a=<b=<c
abc=1 ===> 0<a=1/bc =<1
linegalité aprouver dev1
(1/bc+b)(b+c)(c+1/bc)>=4(1/bc+b+c-1)
mnt a vous de jouer (soit par les fcts soit autre chose )

ahmadoustra a écrit:

Je vous donne des indications:
posez x = a + b , y = b + c et z = c + a
puis p = x + y + z;

x , y et z sont alors les cotés d'un triangle. p est son périmetre.
l'égalité devra avoir lieu pour un triangle equilateral... ( je n'ai fait aucun calcul...)

bon courage,

at pour abc = 1

Bonsoir ;
(*) Je traite le cas où ab+bc+ca >= a+b+c :
(a+b)(b+c)(c+a)+4 = (a+b)(b+c)(c+a)+4abc = a(b+c)²+b(c+a)²+c(a+b)²
et par convexité de x-->x²
(a+b)(b+c)(c+a)+4 >= 4(a+b+c)(ab+bc+ca)²/(a+b+c)²
pour l'autre cas je réfléchis encore (sauf erreur)

hmmm,
je me demande bien prk ma 1ere idée ne marchait pas? pourtant un petit passage par la formule d'héron devrait bien arranger les choses et qlq formules de trigo...
bref, une autre méthode conciste à homégéniser l'inégalité; ce qui nous conduit à poser a=x/y, b=y/z et c= z/x avec x,y et z positifs.
ceci dit, et sans me lancer dans les calculs, on demontre que l'inégalité à démontrer s'écrit:

6*(xyz)^2 + { (xy)^3 +(yz)^3 + (zx)^3 } + xyz{ x^3 + y^3 + z^3 - 4( zx^2 + xy^2 + yz^2 )} >= 0

c'est pas trop sympa tout ça, mais on voit qu'on n'a pas bcp de symétries dans cette inégalité... alors on traitera une autre plus général, pour retrouver l'inégalité d'origine, il suffira d'ordonner x,y et z et d'utiliser l'inégalité du réordonnement... ( ça se complique ? )

bref on cherche mnt a démontrer :

6*(xyz)^2
+ { (xy)^3 +(yz)^3 + (zx)^3 }
+ xyz{ x^3 + y^3 + z^3 - 2( zx^2 + xy^2 + yz^2 + xz^2 + yx^2 + zy^2)} >= 0

le membre droit n'est que la somme des termes suivants, en changeant les roles de x,y et z...

1/2z(x-y)^2{ (x+y)z^2 - 2xyz + xy(x+y) }

la question mnt est de savoir si :
(x+y)z^2 - 2xyz + xy(x+y) >=0

ceci est vrai , + fct continue en z prenant des valeurs > 0 et ne s'annulant jamais (car son discriminant est négatif)

voila...

y a-t-il une solution plus simple? j'espere n'avoir pas fait d'erreur de calcul...

oui effectivement c'est plus simple...
mais il faut pas voir dans ma solution que du calcul bourrin. L'idée est qu'une inégalité peut toujours être démontrer juste en factorisant. souvent ceci conduit à de belles démonstrations... mais au moins tu es sur de trouver la solution :-)
bien joué

Bien les amis

BeStFrIeNd a écrit:

Slt ;J'ai autre methode:[/color]
On a (a+b)(b+c)(c+a) <=> (a+b)(b+1/ab)(1/ab+a)
<=>2+a²b+1/a²b +ab²+1/ab² a/b +b/a >=8
il suffit de montrer que [color=magenta]8>=4(a+b+c-1) <=> a+b+c>=3
Il y a Plusieur Methodes pour montrer que a+b+c>=3 Comme Par exemple les fonction Prené un parametre et etudié la fonction OU Utilisé C.S :a+b+c>3(abc)^1/3 =3
Donc LE prbléme est resolu!
__BestFriend__

8>=4(a+b+c-1) <=> a+b+c>=3

j'ai deja pensé a ça