Dérivation dans IN

Montrer qu'il existe une et une seule application f de N* dans N telle que
f(1)=0, f(p)=1 pour tout p premier et f(xy)=xf(y)+yf(x) qqs x et y dans N*

Quels sont les point fixes de f?

si n est tel que
alors
et c est donc la seule.

Salut abdellilah,

abdelilah a écrit:

si n est tel que
alors
et c est donc la seule.

Non.
f(p^3) = p f(p^2) + p^2f(p) = 3p^2 et non 3p comme tu le dis.

En fait, on montre rapidement par récurrence que f(p^n) ) = np^(n-1), puis que f(prod(p_i^r_i)) = prod(p_i^r_i) * somme(r_i/p_i)

Cette condiion nécessaire est alors suffisante.
--
Patrick

Re-bonjour,

abdelbaki.attioui a écrit:

Quels sont les point fixes de f?

Je n'avais pas vu cela.

Si x = prod(p_i^r_i), f(x) = x <=> somme(r_i/p_i) = 1

On montre facilement que ceci implique : un seul facteur et r1=p1.

Les points fixes sont donc les entiers p^p avec p premier.

Sympa, comme problème.
Merci abdelbaki.

--
Patrick

je t'en prie

c est vrai pco, excuse