problème N°79 de la semaine (30/04/2007-06/05/2007)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Bonsoir ;
Solution postée
voici la solution d'Elhor
Bonjour Samir ;

Remarquons que pour x ,y >= 2 ona , 1/x +1/y =< 1/2 + 1/2 = 1 et donc x + y =< xy
et par croissance du logarithme népérien , ln(x+y) =< ln(x)+ln(y)
L'inégalité demandée devient alors de Nesbitt d'où le résultat.
(sauf erreur bien entendu)

salut

solution postée
voici la solution de devil13



notons log_{h} log de la base h

on sait ke log_{a}(b)=ln(b)/ln(a) pour tou a de IR+*-{1} et tou b de IR+*

soit x,y,z des rééls tous >=2

on a [x>= 2 donc ln(x)>=ln(2)
[z+y>=4 donc ln(z+y)>=ln(4) et ln(4)=2ln(2)

donc ln(x)/(ln(z+y)>=1/2 on a alors *log_{y+z}(x)>=1/2 et puiske x ; y et z joue le meme role on ecrit aussi

**log_{x+z}(y)>=1/2 et*** log_{y+x}(z)>=1/2

de *; ** et*** on deduit que log_{y+z}(x) + log_{x+z}(y) +log_{y+x}(z)>=3/2

solution postée
voici la solution de FERMAT
salut,
on a x>=2,y>=2 donc 1/x+1/y<=1 d'ou x+y<=xy ===> ln(x+y)<=ln(xy)=lnx+lny donc ln(z)/ln(x+y)>=lnz/(lnx+lny)
de méme manière lnx/ln(y+z)>=lnx/(lny+lnz) et lny/ln(x+z)>=lny/(lnx+lnz)
en sommant les trois inegalités ainsi obtenu ,et en utilisant l'inegalité de nesbit,le resultat en decoule

Bonjour
solution postée
voici la solution de abdelbaki attioui
x>=2 ==> x=<2(x-1)
y>=2 ==> x=<y(x-1) ==> x+y=<xy ==> ln(x+y)=<ln(x)+ln(y)
de même ln(x+z)=<ln(x)+ln(z) et ln(z+y)=<ln(z)+ln(y)
==>ln(x)/ln(y+z)+ln(y)/ln(x+z)+ln(z)/ln(x+y)>=
ln(x)/(ln(y)+ln(z))+ln(y)/(ln(x)+ln(z))+ln(z)/(ln(x)+ln(y)) >=3/2
(inégalité bien connue voir par exemple le cours de ce forum sur les inégalités page 11 )

A+

Bonjour

Solution postée
voici la solution de khamaths
Bonjour Samir

posons: S = lnx / ln(y+z) +lny / ln(z+x) + lnz / ln(x+y)
(*) par symétrie des rôles supposons que: 2 <= x <= y <= z
On a: x+y <= 2y <= xy de mme y+z <= yz et z+x <= xz
===> ln( x+y) <= lnx + lny de mme pour les autres..

===> S >= a/(b+c) + b/(a+c) +c/(a+b) = S ' / avec a= lnx ; b=lny et c=lnz
(*) On a: a <=b <= c et 1/(b+c) <= 1/a+c <= 1/(a+b)
L'inégalitée de Chebyshev====> 3S' >= (a+b+c)[ 1/(b+c) + 1/(a+c) + 1/(a+b) ]
Or 1/(b+c) +1/(a+c) +1/(a+b) >= 9 / [2(a+b+c)]
====> S'>=3/2
D'oû le résultat

salut tout le monde
solution postée
voici la solution de Boukharfane
Grâce à la symétrie on peut supposer que x>=y>=z d’où 1/y+z>=1/x+z>=1/x+y.la fonction

X->log(X) est strictement positive.

Donc log(x)>=log(y)>=log(z) et log(1/z+y)>=log(z+x)>=log(x+y)

Tchebtchev nous donne log(x)/log(z+y)+log(y)/log(x+z)+log(z)/log(x+z)>=1/3log(xyz)(1/log(x+y)+log(y+z)+1/log(z+x))

Les inégalités des moyens nous donnent 1/log(x+y)+log(y+z)+1/log(z+x)>=9/log((x+y)(y+z)(z+x).

Alors il suffit de montrer que (xyz)²>=(x+y)(y+z)(z+x) poir tous x ;y et z>2.

L’étude de la fonction f(x)=x²-x-y prouve que x²>x+y. d’où il vient que (xyz)²>=(x+y)(y+z)(z+x).donc 2log(xyz)>=log((x+y)(y+z)(z+x)).d’où la réponse.

solution postèe
voici la solution de saiif 3301
on a log_(x+y) (z)=lnz/(lnx+lny) mème chose pour les uatre et on a
x>=2 et
y>=2 donc 1/x +1/y=<1/2+1/2=1 donc x+y=<xy donc
ln(x+y)=<ln(xy)=ln(x)+ln(y)
donc 1/ln(xl+y) >=1/(ln(x)+ln(y)) mèm chose pour les autre on met
ln(x)=a et
ln(y)=b et ln(z)=c donc l inègalitè est èquivalente a a/b+c +c/a+b
+b/a+c
>=3/2 par symètrie on prend x>=y>=z donc 1/b+c >=1/a+b>= 1/a+c et d
après
shèbèchev ona a/b+c +c/a+b +b/a+c>=(2(a+b+c))(1/b+c +1/a+b+ 1/a+c
)/2*3
>=9/6=3/2 et en dèduit le rèsultat de saiif 3301