f(n)-f(n+f(m))=m

Trouver toutes les fonction f: Z -->Z telles que
f(n)-f(n+f(m))=m qqs m,n de Z

bonjour
voici ma solution ,elle est un peut longue mais je crois que c'est mieux d'avoir une solution longue et complete
je voudrait remercier Mr pco pour ca facon d'organiser sa solution que j'empreintrait dans ce qui suit
on a pour n=0 f0f(m)=f(0)-m
1-f0f est surjective
* injectivite
f0f(a)=f0f(b) ===== f(0)-a=f(0)-b ===== a=b CQFD
*bijectivite
y=f0f(x) ==== y=f(0)-x ==== x=f(0)-y CQFD
en conclusion f est surjective
2- f est surjective
*injective
f(a)=f(b) ==== f0f(a)=f0f(b) ==== a=b CQFD
*bijective
y=f(x) ==== f(y)=f0f(x) ====f(y)=f(0)-x ====x=f(0)-f(y) CQFD
f est donc surjective
soit g sa reciproque
3- f(0)=0
f0f(m)=f(0)-m
en remplacant m par g(m) on obtient
f(m)+g(m)=f(0)
revenant a la premiere equation on remplacant n par g(m) on obtient
f(g(m)+f(m))=0 ==== f0f(0)=0 ==== f(0)=0 CQFD
cette conclusion nous mene a
f(m)=-g(m) et f0f(m)=-m
en remplacant n par g(m) on obtient 2f(n)=f(2n)
en remplacant n par f(m) on trouve facilement que f(m)=-m
reciproquement la fonction f(m)=-m est bien une solution
sauf erreur

Jusqu'au f(f(m))=-m c'est bon. Mais , la conclusion est fausse

je crois que vous parlez de ca :
en remplacant n par g(m) on obtient 2f(n)=f(2n)
en remplacant n par f(m) on trouve facilement que f(m)=-m
reciproquement la fonction f(m)=-m est bien une solution
sauf erreur
je voulait ecrire: en remplacant dans la premiere equation m par g(n) (une faute de frappe)

Non ce n'est pas ça.
f(n-m)=f(n+f(f(m)))=f(n)-f(m) ==> f(n)=f(1)n
==> f(1)²=-1 pas de solution

non je voit que tu ne m'a pas bien compris
en remplacant m par g(n)
on a : f(n)-f(n+f0g(n))=g(n)
alors :f(n)-f(n+n)=-f(n) (puisque g(n)=-f(n))
donc:2f(n)=f(2n)
et en remplacant n par f(m) dans lapremiere equation
f0f(m)-f(2f(m))=m ==== -m-2f(m)=m ====f(m)=-m
je crois que c'est clair maintenant

Regarde ici l'erreur f(2f(m))=2f(f(m))=-2m

je voit en effet qu'il y a une erreur
je crois qu' il n'y pas de solution pour cette equation fonctionnelle
en effet en remplacant m par g(m) on obtient
f(n+m)=f(n)-g(n) ====f(n+m)=f(n)+f(m)
cette derniere equation est tres classique sa solution est
f(x)=ax mais reciproquement
an-a(n+f(m))=m ==== -a^2*m=m ====1=-a^2 ce qui est absurde
alors iln'y a pas de solutions et milles excuses pour ma precipitation

non problemo ça arrive!

et la solution est-elle juste ?